Particule sur un segment - état stationnaire
Durée : 3 mn
Note maximale : 1
Question
Soit\(\mathrm{\Psi(x,t)}\)une fonction d'onde décrivant un état quantique d'une particule astreinte à se déplacer sur un axe x'Ox entre deux bornes\(X = 0\) et \(X = L\).
On donne pour \(\mathrm{\Psi(x,t)}\) l'expression suivante :
\(\mathrm{\Psi(x,t) = A \sin ( \beta x) \exp ( i \alpha t)}\)
Où \(\textrm A\), \(\beta\) et \(\alpha\)sont des constantes réelles.
Montrer que cet état quantique est un état stationnaire, c'est-à-dire que la densité de probabilité de présence ne dépend pas du temps.
Solution
La densité de probabilité de présence est égale au carré du module de la fonction d'onde.
On a donc :
\(\mathrm{\mid\Psi(x,t)\mid^2=\Psi(x,t) \times \Psi^*(x,t) = A^{2} \sin^{2}(\beta x) \exp(i\alpha t) \exp(-i\alpha t) =A^2 \sin^{2}(\beta x)}\)
On peut alors travailler sur la partie spatiale uniquement, qui ne dépend que de la variable d'espace x.