Introduction

Le cours d'analyse s'articule autour de l'étude de concepts : suites, fonctions et de grands problèmes qui les font intervenir. Les problèmes concernant les suites font appel aux propriétés des fonctions et réciproquement.

Parmi les problèmes dont la solution fait intervenir la théorie des suites numériques citons :

  • approximation des nombres réels

Exemple

On cherche une approximation rationnelle (ou décimale) de réels comme , ou de nombres définis comme solution d'une équation, par exemple . Le but est alors de trouver les "meilleures" suites de rationnels, c'est à dire celles qui convergent le plus vite vers ces nombres...

  • description du comportement de phénomènes dont l'état, à un moment entier (mois, année), est représenté par un nombre réel

Exemple

Les suites de Fibonacci ont été introduites à la suite de recherches sur la prolifération de lapins.

Un couple de lapins, nés à la date 0, donne naissance, à partir du deuxième mois de son existence, à un nouveau couple chaque mois. Ces nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. On suppose que tous les lapins restent vivants au cours de l'étude. On note le nombre de couples de lapins vivants au bout de mois. On a immédiatement et . L'ensemble des couples de lapins au mois est composé

  • des couples vivants au mois et de leurs nouveaux nés, leur nombre est

  • des couples nés au mois , leur nombre est .

On a donc . Cette relation permet de calculer les premiers termes de la suite, par exemple les 12 premiers termes sont :1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

L'étude des suites portera, après les définitions, sur

  • des aspects globaux (monotonie, majoration)

  • des aspects asymptotiques c'est à dire quand tend vers (convergence, divergence).

A côté de cet aspect qualitatif, on abordera l'aspect quantitatif (rapidité de la convergence).

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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