Théorème de Bolzano-Weierstrass

Une suite convergente est bornée, la réciproque est fausse mais le théorème de Bolzano-Weirstrass exprime qu'une suite bornée admet une suite extraite convergente. Le théorème de Bolzano- Weierstrass est un "grand" théorème non seulement parce que son rôle est fondamental dans l'étude globale des fonctions mais parce que, pour une suite réelle, la propriété est bornée étant équivalente à prend ses valeurs dans un intervalle fermé borné de , le théorème de Bolzano- Weierstrass caractérise une propriété des intervalles fermés bornés de la compacité.

Théorème

De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.

Preuve

On construit la suite extraite par dichotomie c'est à dire en coupant successivement en 2, les intervalles contenant une infinité de termes de la suite.

Il s'agit d'une démonstration par dichotomie.

Soit une suite réelle bornée et soient deux réels tels que l'on ait, pour tout entier : tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle fermé et borné .

On pose et on considère les deux intervalles fermés bornés . Des deux ensembles l'un au moins est infini. On désigne par celui des deux intervalles qui contient une infinité de termes de la suite et par le plus petit entier tel que appartienne à (dans le cas où les deux intervalles contiennent une infinité de termes on en choisit arbitrairement un). La longueur de est égale à et l'ensemble est infini. On pose .

On recommence alors sur ce qui a été fait sur ; en considérant le milieu de on fait apparaitre deux intervalles dont l'un, au moins, contient une infinité de termes de la suite . On désigne par cet intervalle et par le plus petit entier strictement supérieur à tel que appartienne à .

La longueur de est égale à ; on pose .

On définit par récurrence une suite d'intervalles et une suite de réels extraite de la suite telles que :

  • pour tout entier , on définit à partir de par les conditions :

    • et la longueur de est la moitié de celle de

    • contient une infinité de termes de la suite

et par les conditions :

  • la fonction est strictement croissante

La suite est extraite de la suite . De plus la longueur de est égale à . On montre que la suite est de Cauchy.

Soit un réel strictement positif et soit un entier tel que . Pour tout entier on a , d'où, pour tout couple d'entiers vérifiant et ,

On a donc construit une suite extraite de la suite qui est une suite de Cauchy et donc convergente.

Remarque

Autre preuve se basant sur les suites adjacentes

Au lieu de faire appel au théorème de Cauchy, on peut aussi, une fois construites la suite d'intervalles et la suite , noter les bornes de l'intervalle et considérer les suites :

  • la suite est croissante, la suite est décroissante,

  • pour tout entier , on a ,

  • pour tout entier , on a

Les suites sont donc adjacentes, elles sont donc convergentes et ont même limite.

Pour terminer la démonstration, il suffit de remarquer que, pour tout entier , on a

ce qui entraine que la suite est convergente et a même limite que les suites .

Il est à noter que dans les deux cas (théorème de Cauchy ou suites adjacentes) l'hypothèse que la suite est une suite bornée de nombres réels est essentielle. On utilise les bornes pour mettre en place la récurrence et le fait qu'on est dans assure :

  • soit la convergence de la suite de Cauchy

  • soit la convergence des deux suites .

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