Exemples

Le critère de Cauchy est utilisé pour montrer qu'une suite est convergente (resp divergente) dans les cas où l'on peut obtenir facilement une majoration (resp minoration) de pour  et assez grands. C'est le cas en particulier pour certaines séries.

Exemple
  1. Etude de la série harmonique

    On pose, pour tout et on montre que la suite n'est pas de Cauchy c'est à dire que : et

    Pour , donc si , compte tenu des inégalités

    on obtient .

    Donc pour et pour tout entier positif il existe des entiers et supérieurs à tels que . La suite , dite série , ou série harmonique en raison de son rôle en acoustique, n'est pas de Cauchy, elle est donc divergente. On remarque, ici encore, que la différence entre deux termes consécutifs tend, elle, vers 0, alors que la suite n'est pas de Cauchy.

  2. Soit la suite définie par :

    On remarque que l'on est là devant une relation qui lie ,   et .

    On peut alors exprimer pour , suivant une méthode assez fréquemment utilisée, sous la forme suivante :

    Or, tous les étant de façon évidente positifs, on a ; la suite est donc croissante et, pour tout entier .

    D'où, pour

    Les inégalités, pour , entraînent que est une suite de Cauchy, elle est donc convergente.

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