Suites de Cauchy
Définition

Soit une suite réelle; on dit que est une suite de Cauchy ou vérifie le critère de Cauchy si :

quel que soit , il existe un entier tel que les inégalités et entraînent .

Soit encore

et

On doit insister, dans cette définition, sur le fait que la condition doit être réalisée, pour tout couple  et sont supérieurs à ; en particulier la condition n'entraine pas que la suite est une suite de Cauchy, comme on le verra dans l'exemple plus loin.

Une suite qui n'est pas de Cauchy est caractérisée par :

et

Exemple
  1. La suite géométrique , pour , est une suite de Cauchy.

    On a, pour .

    Donc, en prenant on a, pour .

  2. La suite n'est pas une suite de Cauchy

    Pour , on a : ,

    donc si on a .

    Donc, pour et pour tout entier positif, il existe des entiers et supérieurs à tels que .

    En revanche quand , ce qui prouve bien que la condition n'entraîne pas que la suite est de Cauchy.

On conçoit facilement qu'une suite convergente est de Cauchy, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire : si et sont petits il en est de même pour . En revanche, si l'on considère la suite définie par :

il s'agit d'une suite de rationnels qui converge dans , donc est de Cauchy, or sa limite n'appartient pas à : la convergence d'une suite de Cauchy est liée à une propriété spécifique de .

Légende :
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