Suites de nombres réels

La preuve de la condition suffisante repose sur la propriété de la borne supérieure dans \(\mathbb R\) et la construction de 2 suites adjacentes.

• Condition nécessaire : Toute suite convergente est de Cauchy.

  Soit \((u_n)\) une suite convergente dont on note \(l\) la limite. On écrit l'inégalité :

  \(\displaystyle{\vert u_p-u_n\vert\leq\vert u_p-l\vert+\vert l-u_n\vert}\)

  Pour tout \(\epsilon>0\), il existe un entier \(\mathbb N\), tel que les inégalités \(p\geq N\) et \(n\geq N\) entrainent :

  \(\displaystyle{\vert u_p-l\vert<\frac{\epsilon}{2}}\) et \(\displaystyle{\vert u_n-l\vert<\frac{\epsilon}{2},}\) d'où \(\displaystyle{\vert u_p-u_n\vert<\epsilon}\).

• Condition suffisante : Dans \(\mathbb R\) toute suite de Cauchy est convergente. Cette démonstration est basée sur la propriété de la borne supérieure, on utilise en particulier la propriété immédiate suivante : si \(A\) et \(B\) sont des parties bornées, non vides de \(\mathbb R\) et si \(\displaystyle{A\subset B}\) alors

  \(\displaystyle{\inf B\leq\inf A\leq\sup A\leq\sup B}\),

  et on "coince" \((u_n)\) entre deux suites adjacentes.

  1. Premiére étape : une suite de Cauchy est bornée

     On notera l'analogie avec la démonstration correspondante pour les suites convergentes.

     On prend \(\epsilon=1\), il existe \(N(1)\) tel que les inégalités \(p\geq N (1)\) et \(n\geq N(1)\) entrainent \(\vert u_p-u_n\vert<1\) , en particulier \(\displaystyle{\vert u_{N(1)}-u_n\vert}<1\).

     On pose \(\displaystyle{M=\textrm{max}\Big\{\vert u_0\vert,\vert u_1\vert,\cdots,\vert u_{N(1)-1}\vert,\vert u_{N(1)}\vert+1\Big\}}\)

     on a alors:

     \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,\vert u_n\vert\leq M}\).

  2. Seconde étape : construction de deux suites

     On pose \(\displaystyle{\mathcal U_n=\{u_p,p\geq n\}}\) , la suite \((\mathcal U_n)\) est une suite décroissante au sens de l'inclusion d'ensembles non vides :

     \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,\mathcal U_{n+1}\subset\mathcal U_n}\).

     Pour tout entier \(n, \mathcal U_n\) est borné et non vide; on pose \(a_n=\textrm{ inf }\mathcal U_n, b_n=\textrm{ sup }\mathcal U_n\).

     On a ainsi défini deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) qui vérifient

     \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,a_n\leq u_n\leq b_n}\)

  3. Troisième étape : les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes

     L'inclusion : \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,\mathcal U_{n+1}\subset\mathcal U_n}\), entraîne, compte tenu de la propriété rappelée précédemment,

     \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N\quad a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n}\).

     La suite \((a_n)\) est donc croissante, la suite \((b_n)\) décroissante et on a :

     \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N\quad a_n\leq b_n}\).

     Il reste donc à montrer que \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0}\)

     On écrit \(\displaystyle{b_n-a_n=b_n-u_n+u_n-a_n}\) afin d'appliquer la condition de Cauchy. Elle s'écrit :

     \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb N,\forall(p,n)\in\mathbb N^2}\) \(\displaystyle{(p\geq N}\) et \(\displaystyle{n\geq N\Rightarrow\vert u_p-u_n\vert<\epsilon)}\),

     soit pour \(p\geq n\geq N\)

     \(\displaystyle{u_n-\epsilon\leq u_p\leq u_n+\epsilon}\) ,

     d'où l'on déduit

     \(\displaystyle{\sup_{p\geq n}u_p\leq u_n+\epsilon}\) et \(\displaystyle{\inf_{p\geq n}u_p\geq u_n-\epsilon}\).

     On a donc, \(\displaystyle{\forall n\geq N,0\leq b_n-u_n\leq\epsilon}\) et \(\displaystyle{0\leq u_n-a_n\leq\epsilon}\), d'où

     \(\displaystyle{0\leq b_n-a_n\leq2\epsilon}\).

     Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont des suites adjacentes, elles ont donc une limite commune, la double inégalité : \(\displaystyle{\forall n\in\mathbb N,a_n\leq u_n\leq b_n}\) entraîne alors la convergence de la suite \((u_n)\).