Critère de Cauchy
Théorème : Critère de Cauchy

Une suite de réels est convergente dans si, et seulement si, c'est une suite de Cauchy.

Preuve

La preuve de la condition suffisante repose sur la propriété de la borne supérieure dans et la construction de 2 suites adjacentes.

  • Condition nécessaire : Toute suite convergente est de Cauchy.

    Soit une suite convergente dont on note la limite. On écrit l'inégalité :

    Pour tout , il existe un entier , tel que les inégalités et entrainent :

    et d'où .

  • Condition suffisante : Dans toute suite de Cauchy est convergente. Cette démonstration est basée sur la propriété de la borne supérieure, on utilise en particulier la propriété immédiate suivante : si et sont des parties bornées, non vides de et si alors

    ,

    et on "coince" entre deux suites adjacentes.

    1. Premiére étape : une suite de Cauchy est bornée

      On notera l'analogie avec la démonstration correspondante pour les suites convergentes.

      On prend , il existe tel que les inégalités et entrainent , en particulier .

      On pose

      on a alors:

      .

    2. Seconde étape : construction de deux suites

      On pose , la suite est une suite décroissante au sens de l'inclusion d'ensembles non vides :

      .

      Pour tout entier est borné et non vide; on pose .

      On a ainsi défini deux suites et qui vérifient

    3. Troisième étape : les suites et sont adjacentes

      L'inclusion : , entraîne, compte tenu de la propriété rappelée précédemment,

      .

      La suite est donc croissante, la suite décroissante et on a :

      .

      Il reste donc à montrer que

      On écrit afin d'appliquer la condition de Cauchy. Elle s'écrit :

      et ,

      soit pour

      ,

      d'où l'on déduit

      et .

      On a donc, et , d'où

      .

      Les suites et sont des suites adjacentes, elles ont donc une limite commune, la double inégalité : entraîne alors la convergence de la suite .

Remarque

On traduit ce théorème en disant que est un corps complet ce qui signifie que toute suite de Cauchy d'éléments de est convergente dans ; est le complété de c'est à dire le plus petit corps complet contenant . Signalons aussi que, tandis qu'une méthode de construction de vise à donner à tout ensemble majoré une borne supérieure, une autre a pour but de rendre toute suite de Cauchy convergente. C'est une méthode très générale dite de complétion .

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