Mathématiques
Précédent
Suivant
Définition

Soit une application de dans . Intuitivement est continue en si est voisin de quand est voisin de , ou si est petit quand est petit.

Définition : Fonction continue en un point

On dit que est continue en si l'une ou l'autre des propriétés équivalentes 1. ou 2. est vérifiée.

  1. Pour tout voisinage de , il existe un voisinage de tel que, si appartient à , alors appartient à .

  2. Quel que soit , il existe tel que, si appartient à et vérifie , on ait .

La propriété 2. se traduit en langage formalisé :

Il est bien évident que dépend a priori de , de et de .

Par ailleurs les inégalités sont indifféremment larges ou strictes.

Méthode

Lorsqu'on étudie directement la continuité d'une fonction en un point, on cherche à établir au voisinage du point une inégalité du type :

,

étant un réel dépendant de .

Exemple

a. La fonction est continue en tout point

On peut choisir quelconque si et .

Illustration graphique :

Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

b. La fonction sinus est continue en tout point .

On peut choisir d'après l'inégalité

Illustration graphique :

Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

c. La fonction carré est continue en tout point .

Illustration graphique :

Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

On écrit , or est borné au voisinage de , par exemple, si on se restreint à l'intervalle , on a alors ;

d'où, en prenant , on obtient .

On remarque que, dans ce dernier cas, la recherche d'une relation liant et fait intervenir et que, en conséquence, dépend de ce qui n'était pas le cas pour les autres exemples.

d. La fonction f définie par

est continue en 0.

Illustration graphique :

  • graphe pour

  • graphe pour

Animation "zoom" :

Le premier écran montre les graphes des fonctions (en rouge), et dans une fenêtre où varie de à et varie de à . L'animation consiste à "zoomer", c'est à dire à réduire l'intervalle affiché de façon à voir de plus en plus gros les détails, jusqu'à arriver à une fenêtre de largeur 0,1.

Proposition

Si est continue en alors est bornée au voisinage de .

La traduction formelle de cette proposition est la suivante :

.

Preuve

Le choix d'un par exemple permet de conclure. En effet :

On prend ; il existe tel que entraîne , soit ,

d'où : .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)