Continuité et opérations
Théorème : Opérations algébriques
Si et g sont continues en x_0, alors \displaystyle{f+g, fg \textrm{ et, }\textrm{si }g(x_0)\neq0, \frac{f}{g}} sont continues en x_0.
Preuve :
On montre la propriété dans le cas du quotient et il suffit, compte tenu des propriétés du produit, de montrer que \displaystyle{\frac{1}{g}} est continue en x_0 tel que g(x_0)\neq0, les autres démonstrations sont analogues.
On montre d'abord que si g(x_0)\neq0, alors g(x) est minorée en valeur absolue par un nombre strictement positif dans un voisinage de x_0.
On utilise ensuite cette minoration pour majorer \displaystyle{\left\vert\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\right\vert}.
La première étape consiste à montrer que si g est continue en x_0 \textrm{ et }g(x_0)\neq0, alors g ne s'annule pas et garde un signe constant au voisinage de x_0 .
Quitte à remplacer g par -g, on peut supposer g(x_0)>0, il existe \eta_1 tel que pour tout x appartenant l'intervalle ]x_0-\eta_1,x_0+\eta_1[ , on ait \displaystyle{\left\vert g(x)-g(x_0)\right\vert\leq\frac{g(x_0)}{2}} d'où \displaystyle{g(x)\geq \frac{g(x_0)}{2}>0} .
Seconde étape :
On écrit : \displaystyle{\left\vert\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\right\vert=\frac{\left\vert g(x)-g(x_0)\right\vert}{g(x)g(x_0)}};
il existe alors \eta_2 tel que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]x_0-\eta_2,x_0+\eta_2[ on ait
\displaystyle{\vert g(x)-g(x_0)\vert<\frac{\epsilon g^2(x_0)}{2}} .
On pose \displaystyle{\eta=\textrm{ min }(\eta_1,\eta_2)}, on a alors, pour tout x appartenant à l'intervalle ]x_0-\eta,x_0+\eta[
\displaystyle{\left\vert\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}\right\vert<\epsilon}.
Conséquences
Les fonctions polynômes x\mapsto P(x)\textrm{ }(P\in\mathbb R[X]) sont continues en tout point de \mathbb R.
Les fonctions rationnelles \displaystyle{x \mapsto\frac{P(x)}{Q(x)} \textrm{ avec }P, Q \in\mathbb R[X]}, (Q différent du polynôme nul) sont continues en tout point de leur ensemble de définition.
Dans l'espace vectoriel F(I, \mathbb R) des applications d'un intervalle I dans \mathbb R, le sous ensemble des fonctions continues en un point x_0 de I en est un sous espace vectoriel.
Théorème : Composition des applications
Soit f et g des fonctions définies respectivement sur des intervalles ouverts I et J; on considère un point x_0\in I tel que f(x_0)\in J.
Alors, si f est continue en x_0 et g continue en u_0=f(x_0), \textrm{ }gof est continue en x_0.
Preuve :
Cela repose sur l'écriture symbolique de la continuité .
Soit \epsilon>0;
g est continue en u_0, on a donc :
\displaystyle{\exists\alpha>0,\forall u\in J\textrm{ }\quad(\left\vert u-u_0\right\vert<\alpha \Rightarrow\vert g(u)-g(u_0)\vert<\epsilon)};
f est continue en x_0, on a donc :
\displaystyle{\exists\eta>0,\forall x\in I\textrm{ }\quad(\left\vert x-x_0\right\vert<\eta\Rightarrow f(x)\in J\textrm{ et }\left\vert f(x)-f(x_0)\right\vert<\alpha)}
On obtient finalement :
\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in I\quad(\left\vert x-x_0\right\vert<\eta\Rightarrow\left\vert gof(x)-gof(x_0)\right\vert<\epsilon)}.
Exemple :
On suppose connues les propriétés de continuité des fonctions élémentaires : fonctions algébriques, trigonométriques, exponentielle, logarithme...
a. La fonction \displaystyle{x\mapsto\sin\left(\frac{x+1}{x-1}\right)} est continue en tout point différent de 1.
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
b. La fonction \displaystyle{x\mapsto\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)} est continue en tout point des intervalles où elle est définie : \displaystyle{]-\infty,-1[\textrm{ et }]1,+\infty[}.
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.