Mathématiques
Précédent
Suivant
Continuité et limite de suites

Tout réel étant limite d'une suite de rationnels, il est naturel de penser que, si est continue en et si est une suite de rationnels qui converge vers , alors la suite converge vers . Ainsi, si est continue en , on approche en calculant etc. Cette propriété se montre immédiatement pour toute suite convergeant vers ; la réciproque est plus difficile à établir, elle exprime que si, pour toute suite admettant pour limite, la suite image est convergente, alors est continue en .

Théorème

Pour qu'une application de dans soit continue en il faut et il suffit que, pour toute suite d'éléments de qui vérifie , la suite soit convergente.

Preuve
  • Condition nécessaire : la démonstration est analogue à celle de la composée de deux fonctions continues.

    Soit ;

    de la continuité de en on déduit :

    ;

    de l'égalité on déduit :

    ;

    d'où : .

    (On remarque la grande analogie avec la démonstration concernant la limite d'une fonction composée, ceci vient du fait qu'une suite est une application de dans ).

  • Condition suffisante : on précise d'abord que si converge c'est vers . Ensuite, une démonstration par la contraposée permet de conclure : on suppose que est non continue et on construit une suite qui converge vers et telle que ne converge pas.

    • Première étape : On montre que toutes les suites images des suites, qui ont pour limite , ont pour limite .

      Soit une suite dont la limite est , la suite est convergente, on note sa limite; on considère également la suite constante et égale à a pour limite .

      On définit une suite par :

      .

      La suite a pour limite , donc est convergente et les suites extraites et ont donc même limite, on a donc .

    • Deuxième étape : méthode par la contraposée

      On suppose non continue en , c'est à dire que l'on a :

      .

      On considère une suite qui tend vers , par exemple la suite ; pour tout entier supérieur ou égal à il existe tel que

      .

      On a mis en évidence l'existence d'une suite admettant pour limite et telle que la suite image ne converge pas vers .

Fondamental

Ce théorème est fondamental car il fournit, dans sa partie directe, la méthode la plus fréquemment utilisée pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point: il suffit en effet de trouver une suite qui converge vers ce point telle que la suite image n'est pas convergente ou admet une limite différente de comme on le verra plus tard.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)