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Définitions et interprétation

Soit un intervalle non réduit à un point de , un point de et une application de dans .

Définition

On dit que est dérivable en si l'une ou l'autre des conditions ou est vérifiée.

  1. La fonction , définie sur , a une limite notée .

  2. Il existe un réel et une fonction définie sur telle que .

On a alors est la dérivée de .

L'équivalence entre les deux définitions et l'égalité se démontre immédiatement.

Les conditions 1. et 2. correspondent à deux points de vue sur la dérivée en un point :

  • la condition 1. correspond au point de vue du nombre dérivée avec son interprétation géométrique, pente de la tangente au graphe de .

  • la condition 2. correspond au point de vue fonctionnel d'application linéaire tangente de vers :

     ; il s'agit de l'application linéaire qui approche "le mieux" la variation de au voisinage de .

Les deux points de vue sont liés : la tangente est au voisinage du point la droite qui approche le mieux le graphe.

En effet, si l'on note le point de coordonnées , la tangente en à a pour équation . Soit le point le point qui appartient à et le point .

La mesure orientée représente la variation de quand varie de . De même représente la variation de la fonction affine quand varie de .

L'égalité

montre alors que la tangente est effectivement la droite qui approche le mieux le graphe de au voisinage de .

De la condition 2. on déduit immédiatement la proposition :

Proposition

Si la fonction est dérivable en , alors elle est continue en .

Attention

La réciproque est fausse comme le montrent les exemples suivants.

Exemple : Fonctions continues mais non dérivables

a. La fonction est continue mais non dérivable en ; on a en effet

D'où .

Illustration graphique :

Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

b. La fonction définie par  est continue mais non dérivable en ; on a en effet , et la fonction n'a pas de limite quand tend vers .

Illustration graphique :

Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.

Signalons l'existence de fonctions continues en tout point de mais qui ne sont dérivables en aucun point.

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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