Définitions et interprétation
Soit \(I\) un intervalle non réduit à un point de \(\mathbb R\), \(x_0\) un point de \(I\) et \(f\) une application de \(I\) dans \(\mathbb R\).
Définition :
On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) si l'une ou l'autre des conditions \(1.\) ou \(2.\) est vérifiée.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\), définie sur \(I \setminus \{x_0\}\), a une limite notée \(f'(x_0) \textrm{ en }x_0\).
Il existe un réel \(A\) et une fonction \(\epsilon\) définie sur \(I\) telle que \(\displaystyle{f(x_0+h)-f(x_0)=Ah+h\epsilon(h)\textrm{ avec }\lim_{h\to0}\epsilon(h)=0}\).
On a alors \(A = f'(x_0), f'(x_0 )\) est la dérivée de \(f \textrm{ en }x_0\).
L'équivalence entre les deux définitions et l'égalité \(A = f '(x_0)\) se démontre immédiatement.
Les conditions 1. et 2. correspondent à deux points de vue sur la dérivée en un point :
la condition 1. correspond au point de vue du nombre dérivée avec son interprétation géométrique, pente de la tangente au graphe \(C_f\) de \(f \textrm{ en }(x_0, f (x_0))\).
la condition 2. correspond au point de vue fonctionnel d'application linéaire tangente de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\) :
\(h\mapsto f'(x_0)h\) ; il s'agit de l'application linéaire qui approche "le mieux" la variation de \(f\) au voisinage de \(x_0\).
Les deux points de vue sont liés : la tangente est au voisinage du point \((x_0, f(x_0))\) la droite qui approche le mieux le graphe.
En effet, si l'on note \(M_0\) le point de coordonnées \((x_0, f(x_0))\), la tangente \(\Delta\) en \(M_0\) à \(C_f\) a pour équation \(\displaystyle{y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}\). Soit \(M\) le point \((x_0+h, f(x_0+h)),P\) le point \((x_0+h,f(x_0)+f'(x_0)h)\) qui appartient à \(\Delta\) et \(H\) le point \((x_0+h, f(x_0))\).
La mesure orientée \(\displaystyle{\overline{HM}=f(x_0+h)-f(x_0)}\) représente la variation de \(f\) quand \(x\) varie de \(x_0 \textrm{ à }x_0+h\). De même \(\displaystyle{\overline{HP}=f'(x_0)h}\) représente la variation de la fonction affine \(\displaystyle{x\mapsto f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}\) quand \(x\) varie de \(x_0 \textrm{ à }x_0+h\).
L'égalité \(\displaystyle{\overline{PM}=f(x_0+h)-f(x_0)-hf'(x_0)=h\epsilon(h)\textrm{ avec }\lim_{h\to0}\epsilon(h)=0}\)
montre alors que la tangente est effectivement la droite qui approche le mieux le graphe de \(f\) au voisinage de \(x_0\).
De la condition 2. on déduit immédiatement la proposition :
Proposition :
Si la fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) , alors elle est continue en \(x_0\).
Attention :
La réciproque est fausse comme le montrent les exemples suivants.
Exemple : Fonctions continues mais non dérivables
a. La fonction \(x\mapsto\vert x\vert\) est continue mais non dérivable en \(0\); on a en effet
\(\displaystyle{\frac{\vert x\vert}{x}=\left\{\begin{array}{lll}1\textrm{ si }x>0\\-1\textrm{ si }x<0\end{array}\right.}\)
D'où \(\displaystyle{\lim_{x\mapsto0^+}\frac{\vert x\vert}{x}=1\textrm{ et }\lim_{x\mapsto0^-}\frac{\vert x\vert}{x}=-1}\) .
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
b. La fonction \(f_1^*\) définie par \(\displaystyle{f_1^*(x)=x\textrm{ sin}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)\quad x\ne0,\quad f_1^*(0)=0}\) est continue mais non dérivable en \(0\); on a en effet \(\displaystyle{\frac{f_1^*(x)}{x}=\textrm{ sin}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)\textrm{ si }x\ne0}\), et la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\textrm{ sin}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)}\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(0\).
Illustration graphique :
Vous pouvez visualiser les points de la courbe représentant la fonction sur la figure suivante. Pour cela vous devez d'abord cliquer sur le bouton "Déplacer" puis déplacer le point à l'aide des flèches droite et gauche du clavier.
Signalons l'existence de fonctions continues en tout point de \(\mathbb R\) mais qui ne sont dérivables en aucun point.