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Dérivées et opérations
Théorème : Opérations algébriques

Soit deux fonctions dérivables en , alors les fonctions sont dérivables en et l'on a

On remarque que l'ensemble des fonctions numériques dérivables en est un espace vectoriel et que l'application   est linéaire de cet espace vectoriel dans .

Preuve

On le fait dans le cas du produit en écrivant le taux de variation sous forme d'une somme de taux de variations contrôlables.

On considère, pour , le rapport ,

qu'on écrit sous la forme: ,

les fonctions étant dérivables, et donc a fortiori continues, en , on a

et

.

D'où la formule.

Théorème : Composition des applications

Soit une fonction définie sur un intervalle et dérivable en point une fonction définie sur un intervalle contenant , dérivable en ; alors est dérivable en et .

Preuve

On considère

On pose , la dérivabilité des fonctions se traduit par les égalités suivantes ( étant tel que appartienne à ):

avec .

D'où pour :

avec .

La condition 2. est donc vérifiée et .

Légende :
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