Dérivée à droite, dérivée à gauche
La situation des exemples précédents a. et b. est différente : dans le premier cas il y a une limite à droite et une limite à gauche différentes, dans le second cas il n'y a ni limite à droite ni limite à gauche; on dit dans le cas de l'exemple a. que la fonction a une dérivée à droite et une dérivée à gauche en \(0\).
Définition :
On dit que \(f\) est dérivable à droite (resp. gauche) en \(x_0\) si la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\) a une limite à droite (resp. gauche) en \(x_0\) .
On note cette limite \(f' _d(x_0)\) (resp. \(f'_g(x_0)\)).
Proposition :
La fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f'_d(x_0) \textrm{ et }f'_g(x_0)\) existent et sont égales.