Racine nième d'un réel positif

On se pose la question : "Une fonction du type admet-elle une fonction réciproque ?", plus précisément "Peut-on lui appliquer le théorème des fonctions réciproques ?".

Théorème : des fonctions réciproques

Soit une fonction continue strictement monotone sur un intervalle Alors

1) est un intervalle de même nature que (fermé, ouvert ou semi ouvert) et ses extrémités sont les limites de aux extrémités de

2) La fonction admet une fonction réciproque définie sur ; plus précisément, définit une bijection de l'intervalle sur l'intervalle donc il existe une fonction notée dans telle que

3) La fonction réciproque est continue et strictement monotone sur de même sens de monotonie que

4) De plus, si est dérivable en un point de et si est non nul, est dérivable au point

L'étude précédente montre que ces fonctions ne sont pas toutes strictement monotones sur En revanche, pour tout entier naturel non nul, la restriction à de la fonction est continue strictement croissante sur l'image de est et la limite en est : c'est donc une bijection continue de sur lui même et elle admet une bijection réciproque.

On fait le choix d'appliquer le théorème des fonctions réciproques à la fonction

Sa fonction réciproque est appelée racine qui est notée

Pour résumer, on a :

Autrement dit, si est un réel positif, est l'unique réel positif qui, élevé à la puissance vaut

Remarque

L'entier est l'indice du radical, il est omis lorsqu'il est égal à 2 : on écrit au lieu de

On notera que pour

D'après le théorème des fonctions réciproques, la fonction étant continue et strictement croissante sur il en est de même pour

La fonction est dérivable sur sa dérivée est elle s'annule pour sauf dans le cas où

Par conséquent, pour la fonction est dérivable sur et sa dérivée est :

Par exemple, la fonction dérivée de est

Le cas où est trivial puisque la fonction réciproque de est !

Dans un même repère orthonormé, le graphe de se déduit de celui de par la symétrie par rapport à la première bissectrice (d'équation ).

Exemple

Propriété

Pour tout réel positif et pour tout entier strictement positif on a :

Ceci découle simplement du fait que les fonctions sont réciproques l'une de l'autre.

Attention !

Dans le cas où est pair, c'est à dire est toujours positif, donc est défini pour tout réel et on a :

En particulier, c'est-à-dire si .

Opérations sur les radicaux

Soient deux réels positifs, deux entiers strictement positifs, et un entier quelconque. On a les propriétés suivantes :

Démonstration : Propriété 1

Soit sont donc des réels positifs, et on a

D'après les propriétés des exposants entiers,

Le produit est positif, donc

Démonstration : Propriété 2

Soit et ; le réel étant non nul, il en est de même pour

Donc

D'après la définition de la racine d'un réel, on a :

D'où, en utilisant les propriétés des exposants entiers

De plus donc

Démonstration : Propriété 3

Soit ( est un réel positif, non nul si ).

D'après les propriétés des exposants entiers on a

D'où et

Démonstration : Propriété 4

Soit ( est un réel positif).

On a donc d'où

Or, d'après les propriétés des exposants entiers

D'où et et par conséquent

Démonstration : Propriété 5

Soit ( est un réel positif).

D'après la propriété (3),

D'où et par conséquent

Résolution dans de l'équation étant un entier strictement positif

On appelle cette équation.

Si a une solution alors nécessairement donc ; cette équation a donc au plus deux solutions :

Etudions le cas où est pair : si est positif on vérifie que les deux réels sont solutions de si est strictement négatif n'a pas de solution car, dans le cas où est pair, pour tout réel est positif.

Passons maintenant au cas où est impair : dans ce cas pour tout réel a le même signe que donc si est positif la seule possibilité est et on vérifie que ce réel est bien solution de si est strictement négatif, la seule possibilité est et on vérifie de même que c'est bien une solution de

En résumé on a :

Ensemble des solutions de l'équation :

  • Si n est pair :

  • Si n est impair :

Remarque

Dans le cas où est impair l'équation a une solution unique pour tout réel ce qui est en cohérence avec le fait que dans le cas où est un entier naturel impair la fonction est une bijection de sur (elle est continue strictement croissante sur ).

On peut effectivement appliquer le théorème des fonctions réciproques à la fonction de dans , et définir sa fonction réciproque sur

C'est ce que font certains auteurs, et il est fréquent de lire des expressions du type :

Ce n'est pas le choix qui a été fait ici, car cela peut conduire à des erreurs flagrantes si on fait les calculs sans précautions ; par exemple, on pourrait être étonné des résultats suivants :

Mais en fait, la propriété à laquelle on pense ici ne s'applique que pour ce qui n'est pas le cas de

De plus, dès que l'on veut faire des opérations (somme, produit, composition...) entre les fonctions racines il est nécessaire qu'elles soient toutes définies sur et à valeurs dans

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