Définition d'une puissance rationnelle d'un réel strictement positif

Etant donné un rationnel il existe au moins un couple appartenant à tel que : on dit que est un représentant de

Il n'y a pas unicité d'une telle représentation, (en fait, il en existe une infinité) :

Deux fractions sont des représentants d'un même rationnel si et seulement si

L'idée est d'étendre aux exposants rationnels la notation exponentielle définie jusqu'ici pour les exposants entiers : il s'agit donc de donner un sens à pour

Pour que cette définition ait un intérêt il faut que l'on conserve les règles de calculs sur les exposants.

Pour que cette définition ait un sens il faut qu'elle soit indépendante du représentant choisi pour

Soient des représentants d'un même rationnel montrons l'égalité

Soit

D'après la définition et les propriétés des radicaux, on a :

Or sont deux représentants d'un même rationnel donc

Par conséquent on a bien c'est-à-dire Ce qui justifie la définition suivante :

Définition

Définition de pour

Soit un réel strictement positif et un rationnel dont un représentant est

Remarque

Si est un rationnel strictement positif la définition est valable pour

Il reste maintenant à montrer que toutes les règles de calcul des exposants entiers sont vraies pour les exposants rationnels.

Propriété : des exposants rationnels

Soit des réels strictement positifs et des rationnels.

On a les propriétés suivantes :

Preuve : propriété (1)

Soit un représentant de un représentant de sont éléments de

D'après la définition, on a

De même

D'où, en utilisant la propriété des radicaux

On en déduit que

Preuve : propriété (2)

Soit un représentant de est élément de

D'après la définition et la propriété des radicaux on a

D'où, en utilisant les propriétés des exposants entiers

Donc

Preuve : propriété (3)

La démonstration est quasiment identique à la précédente, elle utilise la propriété des radicaux.

Preuve : propriété (4)

Soit un représentant de est élément de

D'après les propriétés des exposants entiers, on a

D'où

Preuve : propriété (5)

Soit un représentant de un représentant de sont éléments de

D'après la définition, on a

D'où, en utilisant les propriétés des radicaux

On a donc

Exemple

Pour la fonction dérivée de la fonction on a trouvé

Avec les exposants rationnels on peut écrire ce résultat sous la forme :

la dérivée de (formule identique à celle trouvée pour la fonction puissance avec un exposant entier)

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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Simuler
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