Définition d'une puissance rationnelle d'un réel strictement positif
Etant donné un rationnel \(r\) il existe au moins un couple \((p, q)\) appartenant à \(\mathbb Z \times \mathbb N ^*\) tel que \(r = \frac{p}{q}\): on dit que \(\frac{p}{q}\) est un représentant de \(r.\)
Il n'y a pas unicité d'une telle représentation, (en fait, il en existe une infinité) : \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{13}{39} = \dots\)
Deux fractions \(\frac{p}{q}~\textrm{et}~\frac{p'}{q'}\) sont des représentants d'un même rationnel \(r\) si et seulement si \(pq' = qp'.\)
L'idée est d'étendre aux exposants rationnels la notation exponentielle définie jusqu'ici pour les exposants entiers : il s'agit donc de donner un sens à \(a^r\) pour \(a \in ]0, +\infty[~\textrm{et}~r \in \mathbb Q.\)
Pour que cette définition ait un intérêt il faut que l'on conserve les règles de calculs sur les exposants.
Pour que cette définition ait un sens il faut qu'elle soit indépendante du représentant choisi pour \(r.\)
Soient \(\frac{p}{q}~\textrm{et}~\frac{p'}{q'}\) des représentants d'un même rationnel \(r,\) montrons l'égalité \(\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[q']{a^{p'}}.\)
Soit \(x = \sqrt[q]{a^p}~\textrm{et}~y=\sqrt[q']{a^{p'}}\)
D'après la définition et les propriétés des radicaux, on a :
\(x=\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[qp']{(a^p)^{p'}} = \sqrt[qp']{a^{pp'}}\)
\(y = \sqrt[q']{a^{p'}} = \sqrt[pq']{(a^{p'})^p} = \sqrt[pq']{a^{pp'}}\)
Or \(\frac{p}{q}~\textrm{et}~\frac{p'}{q'}\) sont deux représentants d'un même rationnel donc \(pq' = qp'.\)
Par conséquent on a bien \(x = y,\) c'est-à-dire \(\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[q']{a^{p'}}.\) Ce qui justifie la définition suivante :
Définition :
Définition de \(a^r\) pour \(a \in ]0, +\infty[~\textrm{et}~r \in \mathbb Q\)
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(r\) un rationnel dont un représentant est \(\frac{p}{q}~~(p, q) \in \mathbb Z \times \mathbb N ^*\)
\(a^r = a^{\tfrac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}\)
Remarque :
Si \(r\) est un rationnel strictement positif la définition \(a^r = a^{\tfrac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}\) est valable pour \(a = 0.\)
Il reste maintenant à montrer que toutes les règles de calcul des exposants entiers sont vraies pour les exposants rationnels.
Propriété : des exposants rationnels
Soit \(a, b\) des réels strictement positifs et \(r, r'\) des rationnels.
On a les propriétés suivantes :
\((1)~~a^ra^{r'} = a^{r+r'}\)
\((2)~~a^rb^r = (ab)^r\)
\((3)~~\frac{a^r}{b^r} = (\frac{a}{b})^r\)
\((4)~~\frac{1}{a^r} = a^{-r}\)
\((5)~~(a^r)^{r'} = a^{rr'}\)
Preuve : propriété (1)
Soit \(\frac{p}{q}\) un représentant de \(r~\textrm{et}~\frac{p'}{q'}\) un représentant de \(r', (p, q)~\textrm{et}~(p', q')\) sont éléments de \(\mathbb Z \times \mathbb N ^*.\)
D'après la définition, on a \(a^r = a^{\tfrac{p}{q}} = a^{\tfrac{pp'}{qq'}} = \sqrt[qq']{a^{pq'}}.\)
De même \(a^{r'} = a^{\tfrac{p'}{q'}} = a^{\tfrac{p'q}{qq'}} = \sqrt[qq']{a^{p'q}}.\)
D'où, en utilisant la propriété \((1)\) des radicaux \(a^ra^{r'} = \sqrt[qq']{a^{pq'}}\sqrt[qq']{a^{p'q}} = \sqrt[qq']{a^{pq'+p'q}}.\)
On en déduit que \(a^ra^{r'} = a^{\tfrac{pq' + p'q}{qq'}} = a^{\tfrac{p}{q} + \frac{p'}{q'}} = a^{r+r'}.\)
Preuve : propriété (2)
Soit \(\frac{p}{q}\) un représentant de \(r,~~(p,q)\) est élément de \(\mathbb Z \times \mathbb N ^*.\)
D'après la définition et la propriété \((1)\) des radicaux on a \(a^rb^{r} = a^{\tfrac{p}{q}}b^{\tfrac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}\sqrt[q]{b^p} = \sqrt[q]{a^pb^p}.\)
D'où, en utilisant les propriétés des exposants entiers \(a^rb^r = \sqrt[q]{(ab)^p}.\)
Donc \(a^rb^r = (ab)^{\tfrac{p}{q}} = (ab)^r.\)
Preuve : propriété (3)
La démonstration est quasiment identique à la précédente, elle utilise la propriété \((2)\) des radicaux.
\(\frac{a^r}{b^r} = \frac{a^{\tfrac{p}{q}}}{b^{\tfrac{p}{q}}} = \frac{\sqrt[q]{a^p}}{\sqrt[q]{b^p}} = \sqrt[q]{\frac{a^p}{b^p}} = \sqrt[q]{(\frac{a}{b})^p} = (\frac{a}{b})^{\tfrac{p}{q}} = (\frac{a}{b})^r\)
Preuve : propriété (4)
Soit \(\frac{p}{q}\) un représentant de \(r,~~(p, q)\) est élément de \(\mathbb Z \times \mathbb N ^*.\)
\(\frac{1}{a^r} = \frac{1}{a^{\tfrac{p}{q}}} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^p}} = \frac{1}{(\sqrt[q]{a})^p}\)
D'après les propriétés des exposants entiers, on a \(\frac{1}{(\sqrt[q]{a})^p} = (\sqrt[q]{a})^{-p}.\)
D'où \(\frac{1}{a^r} = a^{-\frac{p}{q}} = a^{-r}.\)
Preuve : propriété (5)
Soit \(\frac{p}{q}\) un représentant de \(r~\textrm{et}~\frac{p'}{q'}\) un représentant de \(r'~~(p, q)~\textrm{et}~(p',q')\) sont éléments de \(\mathbb Z \times \mathbb N ^*.\)
D'après la définition, on a \((a^r)^{r'} = (a^{\tfrac{p}{q}})^{\tfrac{p'}{q'}} = \sqrt[q']{(\sqrt[q]{a^p})^{p'}}.\)
D'où, en utilisant les propriétés des radicaux \(((3)~\textrm{et}~(4))~~(a^r)^{r'} =\sqrt[q']{\sqrt[q]{a^{pp'}}} = \sqrt[qq']{a^{pp'}}.\)
On a donc \((a^r)^{r'} = a^{\tfrac{pp'}{qq'}} = a^{rr'}.\)
Exemple :
Pour la fonction dérivée de la fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) on a trouvé \(x \mapsto \frac{1}{n(\sqrt[n]{x})^{n-1}}.\)
Avec les exposants rationnels on peut écrire ce résultat sous la forme :
la dérivée de \(x \mapsto x^{\tfrac{1}{n}}~\textrm{est}~x \mapsto \frac{1}{n}x^{\tfrac{1}{n} - 1}\) (formule identique à celle trouvée pour la fonction puissance avec un exposant entier)