Etude de la fonction "puissance rationnelle"

Soit un rationnel et un représentant de élément de

D'après la définition, pour tout réel positif est supposé non nul si

La fonction apparaît donc comme la composée de et de dans un ordre quelconque, c'est-à-dire :

On va donc déduire l'étude de la fonction de celles de et faites précédemment.

Pour tout entier strictement positif, est définie continue, strictement croissante sur

Pour tout entier strictement positif, est définie continue, strictement croissante sur

Pour tout entier strictement négatif, est définie continue, strictement décroissante sur

Enfin si est nul, on obtient la fonction constante définie sur

On en déduit que

  • Si

    La fonction est définie, continue, strictement croissante sur

    De plus

  • Si

    La fonction est définie, continue, strictement décroissante sur

    De plus

La fonction est dérivable sur comme composée de fonctions dérivables.

D'où

La dérivée de est donc

Ce qui généralise la formule trouvée pour les exposants entiers.

Remarque

Dans le cas où est strictement supérieur à la fonction admet une dérivée à droite en en effet

La courbe représentative de la fonction admet l'axe comme demi tangente à l'origine.

Dans le cas où est strictement compris entre la fonction n'admet pas de dérivée à droite en en effet

La courbe représentative admet alors l'axe comme demi tangente à l'origine.

Compte tenu de l'étude précédente, on obtient les tableaux de variations suivants :

Cas où

Cas où

Voici, dans un repère orthonormé, quelques exemples de graphes :

Remarque

L'étude précédente montre que si est non nul la fonction est une bijection de sur lui-même. Sa fonction réciproque est ; en effet, d'après les propriétés des exposants, on a pour tout réel strictement positif

C'est-à-dire

Donc

Légende :
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S'exercer
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