Théorème - définition

Quand on cherche les fonctions numériques définies et dérivables sur telles que : , on trouve que si il existe une fonction solution du problème, sa dérivée vérifie la propriété :

Démonstration : (2)

Supposons donc qu'il existe une fonction solution du problème, soit et la fonction définie par :

La fonction est dérivable et en appliquant la dérivation des fonctions composées mais donc

D'où en particulier, pour

Si on note le réel on conclut

donc

Le théorème suivant donne l'existence d'une fonction solution du problème précédent.

Théorème

Il existe une unique fonction définie sur dérivable, telle que

et

Cette fonction est notée (logarithme népérien de et vérifie :

Définition : primitive

Soit un intervalle et une fonction numérique définie sur On dit qu'une fonction numérique définie sur est une primitive de sur si est dérivable et si

Propriété

Soit un intervalle et une fonction numérique, définie sur Si admet au moins une primitive, elle en admet une infinité et deux primitives dans diffèrent d'une constante.

Théorème : (admis)

Une fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur unique si on lui impose de s'annuler en un point de

On la note :

En résumé, les propriétés qui caractérisent sont donc les suivantes :

est définie, continue et dérivable sur

On peut alors donner la définition du logarithme népérien

Définition : logarithme népérien

On appelle fonction logarithme népérien, et l'on note " ln ", la primitive sur de la fonction qui s'annule au point

Cela peut être formulé ainsi :

Démonstration

Démonstration de la propriété :

Soit un réel strictement positif, la fonction définie par est définie, continue et dérivable sur ;

en appliquant la dérivation des fonctions composées

Donc et ont la même dérivée sur

Alors

Pour trouver il suffit de prendre une valeur particulière de par exemple d'où

On obtient ainsi ce qui termine la démonstration de la relation.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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