Variations et représentation graphique

Le domaine de définition de la fonction est l'intervalle

Elle est continue et strictement croissante car sa dérivée est positive.

Comportement aux bornes :

En effet soit car et archimédien.

Alors et finalement

La première implication est due à la croissance du logarithme, la deuxième à une des relations précédentes et la troisième à la transitivité de la relation d'ordre dans

car

Démonstration

Tout d'abord

La fonction définie par est dérivable sur donc la fonction est croissante,

Alors

Ces inégalités permettent de terminer la démonstration.

En appliquant le théorème des fonctions continues monotones, on conclut que la fonction logarithme népérien établit une bijection de sur

En particulier le réel possède un unique antécédent noté

Dans un repère orthonormé on obtient le graphe suivant :

On observe que :

  • la droite d'équation est une asymptote,

  • le graphe présente une branche parabolique de direction horizontale car

  • la droite, d'équation est tangente au graphe au point

  • la droite, d'équation est tangente au graphe au point

Légende :
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