Mathématiques
Précédent
Suivant
Exercice n°4
Démonstration

Rappel de cours :

L'arithmétique étudie les propriétés des entiers.

Pour les démonstrations, nous utilisons le principe de bon ordre que nous admettons :

Tout sous-ensemble non vide de possède un plus petit élément.

Nous démontrons à l'aide de ce principe du bon ordre le principe du raisonnement par récurrence que vous connaissez depuis le lycée.

Voici une démonstration :

Pour tout on considère la propriété :

points distincts du plan sont alignés

  1. Initialisation

    est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.

  2. Hérédité :

    On suppose que est vraie et on va démontrer

  3. Soit donc des points distincts.

    Les points sont alignés sur une droite d'après l'hypothèse . Les points sont aussi alignés sur une droite .

  4. Les deux droites points en communs .

  5. Donc sont alignés, ce qui montre l'hérédité de la propriété.

  6. Conclusion : est vraie pour tout

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)