Exercice n°6

Rappel de cours :

L'arithmétique étudie les propriétés des entiers.

Pour les démonstrations, nous utilisons le principe de bon ordre que nous admettons :

Tout sous-ensemble non vide de N possède un plus petit élément.

Nous démontrons à l'aide de ce principe du bon ordre le principe du raisonnement par récurrence que vous connaissez depuis le lycée.

On considère une suite \((u_n)_n \in \mathbb N\) définie par :

\(u_0 = 0 , u_1 = 1  \quad \textrm {et} \quad u_{n +1} = u_n + 2 u_{n -1} \quad \textrm {pour} \quad n \geq 1\)