Exercice n°6

Partie

Question

Pour quelles valeurs de l'entier \(n \geq 1 ,\) l'entier \(n ^n\) est-il divisible par \(13 ?\)

Solution détaillée

Pour que \(n ^n\) soit divisible par \(13 ,\) il faut et il suffit que \(n\) soit divisible par \(13 .\)

En effet si la décomposition en facteurs premiers de \(n\) est :

\(n= p_i ^{\alpha_1} ,..., p_i ^{\alpha_i}\)

celle de \(n ^n\) est :

\(n^n= p_i ^{n \alpha_1} ,..., p_i ^{n \alpha_i}\)

Si \(n ^n\) est divisible par le nombre \(13\) l'un des \(p_i\) est \(13 .\)

Puisque \(13\) est un nombre premier, c'est l'un des \(p_i .\)