Exercice n°4
Partie
Soit \(p_1 p_2 p_3 ... p_n ...\) la suite des nombres premiers ordonnés croissants.
Question
Soit \(q\) le plus petit nombre premier qui divise \(p_1 p_2 p_3 ... p_n + 1 .\) Montrer que :
\(q \geq p_{n + 1}\)
Rappel de cours
Voir la page Définition et propriétés
Solution détaillée
\(q\) est un nombre premier distinct de chacun des nombres \(p_1 , ... p_n .\) Il est donc supérieur ou égal à \(p_{n + 1} .\)
Question
Montrer que pour tout \(n\) la propriété \(P (n)\) est vraie.
\(P (n) : p_n \leq 2^ {2^n}\)
Rappel de cours
Voir la page Définition et propriétés
Solution détaillée
Démontrons la propriété \(P (n)\) par récurrence.
Initialisation \(p_1 = 2 ; 2 < 2 ^2\)
Supposons \(P\) vraie pour toutes les valeurs de \(1\) à \(n .\)
\(p_{n + 1} \leq q < p_1 ... p_n + 1\)
\(p_1 ... p_n \leq 2 ^2 \times 2 ^{2^2} \times .... \times 2 ^{2^n} = 2 ^{2 + 2^2 + ... +2^n}= 2^{2(2^n-1)} = 2^{2^n+1}{-2} \leq 2^{2^n+1}\)
Donc \(p_1 ... p_n <2 ^{2^n+1} \quad q< 2 ^{2^n+1} \quad p_{n+1} \leq 2 ^{2^n+1}\)
La propriété \(P (n)\) est donc vraie pour tout \(n .\)
Ceci permet d'obtenir un majorant pour le k-ième nombre premier.