Exercice n°5 [Nombres premiers]

Exercice n°5

Partie

Question

Montrer que le produit de deux nombres du même type \(4 k + 1\) \((k\) entier) est de la même forme.

Solution détaillée

\((4 k + 1) (4 h + 1) = 4 [4 hk + h + k] + 1\)

Question

Montrer que le nombre \(4 n ! - 1\) n'admet aucun diviseur premier inférieur à \(n .\)

Solution détaillée

Tous les nombres premiers inférieurs à \(n\) divisent \(n!\) et\( 4n!\)

Aucun nombre \(p\) inférieur à \(n\) qui divise \(4 n !\) ne peut diviser \(4 n ! - 1\)

Question

Montrer qu'un diviseur de \(4 n ! - 1\) est de la forme \(4 n + 1\) ou \(4 n + 3 .\)

Solution détaillée

Les diviseurs de \(4 n ! - 1\) sont impairs car ce nombre \(4 n ! - 1\) est impair. Leurs restes sont \(1\) ou \(3\) dans la division par \(4 .\)

Si les diviseurs de \(4 n ! - 1\) étaient tous du type \(4 k + 1 , 4 n ! - 1\) aurait comme reste \(1\) dans la division par \(4 .\) Il y a donc au moins un diviseur du type \(4 n + 3\) qui est plus grand que \(n.\)

Question

Montrer que l'ensemble des nombres premiers de type \(4 n + 3\) est infini.

Rappel de cours

Voir la page Définition et propriétés

Solution détaillée

L'ensemble des nombres premiers du type \(4 k + 3\) est infini.

Supposons cet ensemble fini. Soit n le plus grand de ces nombres. Le raisonnement précédent montre que \(4 n ! - 1\) possède un diviseur premier plus grand que \(n\) du type \(4 k + 3.\)