Définition de la somme de deux matrices
Soient \(n \textrm{ et }p\) deux entiers supérieurs ou égaux à \(1\). Dans cette étude sur la somme des matrices, on ne considère que des matrices de même type appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Si l'on a des matrices de types différents, parler de leur somme n'a aucun sens !
Définition : Définition de la somme de deux matrices
Soient \(\mathcal A=(a_{i,j})\) et \(\mathcal B=(b_{i,j})\) deux matrices appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). On appelle somme des matrices \(\mathcal A \textrm{ et }\mathcal B\), et l'on note \(\mathcal A+\mathcal B\), la matrice appartenant\( \mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) à de terme général la somme des termes généraux de\( \mathcal A\) et \(\mathcal B\).
Autrement dit \(\displaystyle{\mathcal A+\mathcal B=(C_{i,j})_{\begin{array}{cccccc}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p\end{array}}}\) avec
\(\displaystyle{\forall i,1\leq i\leq n,\quad\forall j,1\leq j\leq p,\quad c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}}\)
.
On peut donner immédiatement des exemples :
Exemple : Exemple 1
Soient les deux matrices éléments de\( \mathcal M_{2,3}(\mathbf R)\)
\(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&-0,5&\frac{1}{3}\\0&0,5&0\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0,5&1\\9&5&\sqrt2\end{array}\right)\)
Alors \(\displaystyle{\mathcal A+\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}2&0&\frac{4}{3}\\9&5,5&\sqrt2\end{array}\right)}\)
Exemple : Exemple 2
Soient les deux matrices éléments de \(\mathcal M_{3,3}(\mathbf R)\):
\(\displaystyle{\mathcal C=\left(\begin{array}{cccccc}0&-1&0\\6&0&0\\0&0&2\end{array}\right)\textrm{ et }D=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1&0\\6&1&1\\1&1&2\end{array}\right)}\)
Alors
\(\displaystyle{\mathcal C+\mathcal D=\left(\begin{array}{cccccc}1&-2&0\\12&1&1\\1&1&4\end{array}\right)}\)
On peut alors définir par récurrence la somme de \(k\) matrices de même type :
Définition : Définition de la somme de k matrices (k ≥ 2)
Soient \(k\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(\mathcal A_1,\mathcal A_2,...,\mathcal A_k\quad k\) matrices appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). On définit par récurrence la somme de ces \(k\) matrices :
Pour \(k=2\) , c'est la définition de la somme de deux matrices vue ci-dessus.
Si la somme de \(k-1\) matrices est définie, alors la somme de \(k\) matrices est définie par : \(\mathcal A_1+\mathcal A_2+...+\mathcal A_k :=(\mathcal A_1+\mathcal A_2+...+\mathcal A_{k-1})+\mathcal A_k\). On peut noter cette somme
\(\displaystyle{\mathcal A_1+\mathcal A_2+...+\mathcal A_k :=\sum_{s=1}^{s=k}\mathcal A_s}\)
Exemple :
Nous pouvons donner un exemple :
Soient \(\mathcal A_1,\mathcal A_2,\mathcal A_3\) les matrices suivantes : \(\mathcal A_1=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&2\end{array}\right),\mathcal A_2=\left(\begin{array}{cccccc}-1&1\\2&2\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal A_3=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\2&4\end{array}\right)\) .
Alors \(\mathcal A_1+\mathcal A_2=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\2&4\end{array}\right)\) et
\(\mathcal A_1+\mathcal A_2+\mathcal A_3=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\2&4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\-2&-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\0&0\end{array}\right)\).