Propriétés de la somme de deux matrices

Dans tout ce qui suit et  désignent des matrices, éléments de .

Propriété : Propriété 1

La justification est immédiate : si et , on sait que

avec pour tout couple avec .

Or, dans , on a . Le résultat en découle immédiatement.

Comme cette propriété est vraie pour tous les éléments de , on dit que l'addition des matrices est commutative.

Propriété : Propriété 2

La justification est semblable à la précédente : c'est une conséquence directe de la propriété, vraie pour tout élément et de .

Comme la propriété est vraie pour tous les éléments de , on dit que l'addition des matrices est associative.

Propriété : Propriété 3

Si on note la matrice, élément de , dont tous les coefficients sont nuls, on a .

La justification est semblable à la précédente : c'est une conséquence directe de la propriété, vraie pour tout élément . Comme la propriété est vraie pour tous les éléments de , on dit que est élément neutre pour l'addition des matrices.

Propriété : Propriété 4

Si et et , on a .

La justification est semblable à la précédente : c'est une conséquence directe de la propriété, vraie pour tout élément . On dit que admet un symétrique pour l'addition qui est la matrice à coefficients dans , à lignes et colonnes, de coefficient (on l'appelle aussi matrice opposée de la matrice ). On note cette matrice. On a donc . Il faut noter que cette propriété est vraie pour tous les éléments de .

Remarque

On a bien noté que toutes les propriétés qui viennent d'être montrées découlent des propriétés analogues de qui désigne, rappelons le, l'un des trois corps ou .

Légende :
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