Non commutativité

Les exemples précédents prouvent que le produit des matrices n'est pas commutatif.

Plusieurs cas de figures peuvent se produire. En effet et peuvent ne pas avoir de sens simultanément. C'est le cas de l'exemple 1.

Comlément :

Si et

Le produit a un sens car le nombre de colonnes de est égal à qui est le nombre de lignes de . et on trouve une matrice de type .

Par contre, le produit n'a pas de sens, puisque la matrice qui est à gauche, à savoir , a colonnes et que la matrice qui est à droite, à savoir , a lignes.

Dans le cas où et existent simultanément, le résultat peut être des matrices qui ne sont pas de même type, c'est le cas de l'exemple 2.

Complément :

Soient deux matrices, élément de et élément de . Ici, les deux produits et ont un sens mais attention, on ne trouve pas, en effectuant ces deux produits, des matrices de même type.

En effet, est carrée et appartient à , alors que appartient à . En effectuant les produits comme précédemment, on trouve et .

Le résultat peut être aussi des matrices de même type (si les matrices et sont des matrices carrées de même type) mais non égales comme dans l'exemple 3.

Complément :

Soient les deux matrices appartenant à et , et . Alors les produits et ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à . En effectuant les produits comme précédemment, on trouve et . On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.

Il existe tout de même des matrices et telles que par exemple si et (le vérifier).

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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