Produit d'une matrice par une matrice unité

L'intitulé de cette page, "Produit d'une matrice par une matrice unité", est très vague et mérite des précisions car il faut se placer dans des circonstances où tous les produits que l'on considère existent.

On rappelle que l'on désigne par matrice unité d'ordre , notée , la matrice carrée d'ordre dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à . On a donc

Alors :

Si , on a les propriétés suivantes : et .

La vérification de ces résultats se fait par un calcul simple. Bien observer que tous les produits indiqués ont un sens.

Démonstration : Démonstration de la propriété : AIp=A

Soit de terme général . La matrice unité d'ordre est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à , les autres étant tous nuls. On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker.

Si et sont deux entiers, on appelle symbole de Kronecker et on note le réel qui vaut si est différent de , et si est égal à . Donc .

Alors on peut dire que le terme général de la matrice carrée d'ordre , est avec et entiers, compris entre et .

Alors la matrice produit est une matrice appartenant à dont le terme général est donné par la formule .

Dans cette somme et sont fixés et prend toutes les valeurs comprises entre et . Si est différent de et si est égal à .

Donc dans la somme qui définit , tous les termes correspondant à des valeurs de différentes de sont nuls et il reste donc .

Donc les matrices et ont le même terme général et sont donc égales.

Cas particulier

Si est une matrice carrée, on a : et .

Légende :
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