Produit d'une matrice par une matrice unité
L'intitulé de cette page, "Produit d'une matrice par une matrice unité", est très vague et mérite des précisions car il faut se placer dans des circonstances où tous les produits que l'on considère existent.
On rappelle que l'on désigne par matrice unité d'ordre\( r\), notée \(\mathcal I_r\) , la matrice carrée d'ordre \(r\) dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à \(1\). On a donc
\(\displaystyle{\mathcal I_r=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&\cdots&\cdots&0\\0&1&\ddots&\cdots&\vdots\\0&\ddots&\ddots&0&\vdots\\\vdots&\cdots&0&1&0\\0&\cdots&\cdots&0&1\end{array}\right)}\)
Alors :
Si \(\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\), on a les propriétés suivantes : \(\mathcal{AI}_p=\mathcal A\) et \(\mathcal I_n\mathcal A=\mathcal A\).
La vérification de ces résultats se fait par un calcul simple. Bien observer que tous les produits indiqués ont un sens.
Démonstration : Démonstration de la propriété : AIp=A
Soit \(\mathcal A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) de terme général \(a_{i,j}\). La matrice unité d'ordre \(p\) est telle que tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à \(1\), les autres étant tous nuls. On peut formaliser cela en introduisant le symbole de Kronecker.
Si \(r\) et \(s\) sont deux entiers, on appelle symbole de Kronecker et on note \(\delta_{r,s}\) le réel qui vaut \(0\) si \(r\) est différent de \(s\), et \(1\) si\( r\) est égal à \(s\). Donc \(\delta_{r,s}=\left\{\begin{array}{cccccc}0&\textrm{ si }&r\neq s\\1&\textrm{ si }&r=s\end{array}\right.\).
Alors on peut dire que le terme général de la matrice carrée d'ordre \(p\), \(\mathcal I_p\) est \(\delta_{r,s}\) avec \(r\) et \(s\) entiers, compris entre \(1\) et \(p\).
Alors la matrice produit \(\mathcal A\mathcal I_p\) est une matrice appartenant à \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\) dont le terme général \(c_{i,l}\) est donné par la formule \(\displaystyle{c_{i,l}=\sum_{j=1}^{j=p}a_{i,j}\delta_{j,l}}\).
Dans cette somme \(i\) et \(l\) sont fixés et \(j\) prend toutes les valeurs comprises entre \(1\) et \(p\). Si \(j\) est différent de \(l, \delta_{j,l}=0,\) et si \(j\) est égal à \(l,\delta_{l,l}=1\).
Donc dans la somme qui définit \(c_{i,l}\) , tous les termes correspondant à des valeurs de \(j\) différentes de \(l\) sont nuls et il reste donc \(c_{i,l}=a_{i,l}\delta_{l,l}=a_{i,l}1=a_{i,l}\).
Donc les matrices \(\mathcal{AI}_p\) et \(\mathcal A\) ont le même terme général et sont donc égales.
Cas particulier
Si \(\mathcal A\) est une matrice carrée, on a : \(\mathcal A\in\mathcal M_{n}(\mathbf K)\) et \(\mathcal A\mathcal I_n=\mathcal I_n\mathcal A=\mathcal A\).