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Produit dans Mn(K)

L'hypothèse : " même nombre de lignes et de colonnes " enrichit beaucoup la notion de produit de matrices. En effet il y a immédiatement deux éléments très importants :

  1. Le produit de deux éléments de est encore un élément de , le produit est donc " interne " à .

  2. Si et sont deux éléments de , on a le droit de calculer les deux produits et et ce sont encore des éléments de . Attention, on a vu que le produit n'est pas commutatif, même si et existent simultanément et sont de même type (voir l'exemple ci-dessous).

    Complément :

    Soit les deux matrices appartenant à , et .

    Alors les produits et ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à .

    En effectuant les produits, on trouve et .

    On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.

Exemple

Soit les deux matrices appartenant à et .

Alors les produits et ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à .

En effectuant les produits, on trouve et .

On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.

Théorème : Propriétés du produit dans \mathcal M_n(\mathbf K)

Le produit des matrices carrées d'ordre est interne, associatif, distributif à droite et à gauche par rapport à l'addition ; il a un élément neutre, appelé la matrice unité d'ordre et noté qui vérifie donc .

Rappelons que

Remarque : ATTENTION !!

Certaines propriétés du produit, naturelles par exemple dans , ne sont pas vraies dans Par exemple :

  • le produit n'est pas commutatif (déjà vu)

  • deux matrices de , non nulles , peuvent avoir un produit nul .

Exemple

Soit et

Ces matrices sont non nulles et pourtant

Complément : Conséquence

On peut avoir trois matrices , éléments de telles que :

Exemple

Si l'on reprend l'exemple précédent, et donc , avec non nulle et et distinctes.

Légende :
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