Matrices carrées

1) Soit \(\mathcal I_n\) la matrice unité d'ordre \(n\).

C'est une matrice inversible (immédiat à partir de l'égalité \(\mathcal I_n\mathcal I_n=\mathcal I_n\)).

La matrice nulle \(\mathcal O\) , d'ordre \(n\) avec \(n\) quelconque, n'est pas inversible. En effet on sait que, pour tout matrice \(\mathbf M\) de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), on a \(\mathcal{MO}=\mathcal{OM}=\mathcal{O}\).

Comme la matrice nulle est différente de la matrice unité, on peut conclure.

Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).

Etudier si \(\mathcal A\) est inversible, c'est étudier l'existence d'une matrice \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}a&c\\b&d\end{array}\right)\) à coefficients dans \(\mathbf K\), telle que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{I}_2\). Or \(\mathcal{AB}=\mathcal I_2\) équivaut à l'égalité :

\(\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}a&c\\b&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)\)

qui équivaut à : \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}a+b&c+d\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)}\)

Or les matrices \(\left(\begin{array}{cccccc}a+b&c+d\\0&0\end{array}\right)\) et \(\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)\) ne sont pas égales, puisque les coefficients de la deuxième colonne, deuxième ligne sont différents.

Donc il n'existe pas de matrice \(\mathcal B\) telle que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=I_2\) et \(\mathcal A\) n'est pas inversible.

Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\)

Etudier si \(\mathcal A\) est inversible, c'est étudier l'existence d'une matrice \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}a&c\\b&d\end{array}\right)\) à coefficients dans\( \mathcal K\), telle que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{I}_2\).

Or \(\mathcal{AB}=\mathcal I_2\) équivaut à l'égalité :

\(\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}a&c\\b&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)\)

qui équivaut à : \(\left(\begin{array}{cccccc}a+b&c+d\\b&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)\)

Cette égalité équivaut au système :

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccccc}a+b&=1\\c+d&=0\\b&=0\\d&=1\end{array}\right.}\)

Sa résolution est immédiate :

\(\displaystyle{a=1,b=0,c=-1,d=1}\)

Il n'y a donc qu'une seule matrice possible

\(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1\\0&1\end{array}\right)\)

Pour prouver qu'elle convient, il faut montrer l'égalité \(\mathcal{BA}=\mathcal I_2\).

On a

\(\mathcal{BA}=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1\\0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1\times1+(-1)0&1\times1+(-1)1\\0\times1+1\times0&0\times1+1\times1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)\)

On a donc trouvé une matrice carrée d'ordre \(2\),

\(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&-1\\0&1\end{array}\right)\) , telle que \(\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal I_2\).

La matrice \(\mathcal A\) est donc inversible.

On a remarqué, en cours de calcul, qu'il n'y avait qu'une seule solution possible. En fait c'est une propriété générale.