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Inverse d'une matrice : définition, unicité
Propriété : unicité, en cas d'existence, d'une matrice \mathcal B vérifiant \mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{I}_2

Soit une matrice carrée à lignes et colonnes. S'il existe une matrice appartenant à telle que , elle est unique.

Cela nous permet de définir l'inverse d'une matrice.

Définition : Définition de l'inverse d'une matrice inversible

Si est une matrice inversible, la matrice appartenant à telle que est appelée matrice inverse de et notée .

Exemple

On a vu que l'inverse de la matrice unité est la matrice unité.

Dans le quatrième exemple que nous avons traité, on peut donc dire que est inversible et que son inverse est égale à .

Preuve : Preuve de l'unicité

La méthode classique pour mener à bien une telle démonstration est de supposer l'existence de deux matrices et satisfaisant aux conditions imposées et de démontrer que .

Soit donc telle que et telle que. Calculons . On a

Comme le produit des matrices est associatif, on a .

Or .

Donc .

En fait, dans cette démonstration, seules les égalités et ont été utilisées. Cela permet de faire la remarque suivante :

Remarque

On aurait pu introduire, pour les matrices de type quelconque les notions d'inverse à droite et d'inverse à gauche de la manière suivante.

Soit une matrice carrée à lignes et colonnes. On dit qu'elle est inversible à droite s'il existe une matrice appartenant à telle que .

De même on dit qu'elle est inversible à gauche s'il existe une matrice appartenant à telle que .

Alors la démonstration précédente prouve que si une matrice carrée a un inverse à droite et un inverse à gauche, alors ces inverses sont égales ; on peut donc affirmer que la matrice est inversible. Pour une matrice carrée, les notions de matrice inversible, matrice inversible à droite et à gauche coïncident donc.

Légende :
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