Définition et exemples
Les matrices considérées dans ce paragraphe sont des matrices carrées, éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\).
Définition :
Soient \(\mathcal A \textrm{ et }\mathcal B\) deux matrices de . On dit que \(\mathcal A\) est semblable à\( \mathcal B\) si et seulement si il existe une matrice inversible \(\mathcal P\) appartenant à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal A=\mathcal{PBP}^{-1}\)
Conséquence
On en déduit immédiatement que si \(\mathcal A\) est une matrice quelconque de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) et \(\mathcal P\) une matrice inversible de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) , A est semblable à .
En effet on a\( \mathcal A=\mathcal P(\mathcal P^{-1}\mathcal{AP})\mathcal P^{-1}\).
Exemple :
Soient les matrices \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}2&1\\1&2\end{array}\right),\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&3\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal P=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\-1&1\end{array}\right)\)
On peut vérifier que \(\mathcal P^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\)
Démonstration : Recherche de l'inverse de P
Soit \(\mathcal Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\end{array}\right)\) une matrice colonne quelconque appartenant à \(\mathcal M_{n,1}(\mathbf K)\). Pour trouver la matrice inverse de \(\mathcal P\) si elle existe, on commence par résoudre par la méthode du pivot le système :
\(\mathcal{PX}=\mathcal Y \textrm{ où } \mathcal X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\end{array}\right)\) est l'inconnue. On a donc le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccccc}x_1&+&x_2&=&y_1\\-x_1&+&x_2&=&y_2\end{array}\right.}\).
Il est équivalent au système : \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{cccccc}x_1&+&x_2&=y_1&& \\&&2x_2&=y_1&+&y_2\end{array}\right.}\)
qui donne immédiatement \(\displaystyle{x_2=\frac{1}{2}(y_1+y_2),x_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)}\)
Si on écrit matriciellement ces égalités, on obtient
\(\displaystyle{\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\end{array}\right)\) Pour s'assurer que \(\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\) est l'inverse de la matrice \(\mathcal P=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\-1&1\end{array}\right)\), il suffit alors de vérifier que \(\left(\begin{array}{cccccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\-1&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&1\end{array}\right)\), ce qui est un calcul simple.
Alors si on fait le calcul du produit \(\mathcal{PBP}^{-1}\), on trouve \(\mathcal{PBP}^{-1}=\mathcal A\). La matrice \(\mathcal A\) est donc semblable à la matrice \(\mathcal B\).