Définition et exemples

Les matrices considérées dans ce paragraphe sont des matrices carrées, éléments de .

Définition

Soient deux matrices de . On dit que est semblable à si et seulement si il existe une matrice inversible appartenant à telle que

Conséquence

On en déduit immédiatement que si est une matrice quelconque de et une matrice inversible de , A est semblable à .

En effet on a .

Exemple

Soient les matrices

On peut vérifier que

Démonstration : Recherche de l'inverse de P

Soit une matrice colonne quelconque appartenant à . Pour trouver la matrice inverse de si elle existe, on commence par résoudre par la méthode du pivot le système :

est l'inconnue. On a donc le système .

Il est équivalent au système :

qui donne immédiatement

Si on écrit matriciellement ces égalités, on obtient

  Pour s'assurer que est l'inverse de la matrice , il suffit alors de vérifier que , ce qui est un calcul simple.

Alors si on fait le calcul du produit , on trouve . La matrice est donc semblable à la matrice .

Légende :
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