Propriétés de la relation binaire " A est semblable à B "
Propriété : Propriétés de la relation de similitude sur \mathcal M_n(\mathbf K)

La relation binaire " être semblable à ...", définie sur , est appelée relation de similitude. Elle possède les propriétés suivantes :

  1. Si est une matrice de , est semblable à elle même (on dit que la relation est réflexive).

  2. Soient et deux matrices de . Si est semblable à , alors est semblable à (on dit que la relation est symétrique).

  3. Soient trois matrices de . Si est semblable à , et est semblable à , alors est semblable à (on dit que la relation est transitive).

Remarque

Une relation binaire possédant les trois propriétés, réflexive, symétrique et transitive est appelée relation d'équivalence. Donc la relation binaire définie sur " est semblable à " est une relation d'équivalence sur .

Complément : Vocabulaire

Compte tenu de ces propriétés, on peut dire indifféremment que la matrice est semblable à la matrice ou que les matrices et sont semblables.

Preuve : Preuve des propriétés

Elles sont basées sur les propriétés des matrices inversibles.

  1. Comme la matrice unité est inversible, d'inverse ,

    on peut écrire :  , ce qui prouve que \mathcal A est semblable à elle-même ( ).

  2. Soient et deux matrices de . Si est semblable à , il existe une matrice inversible de telle que . Si on multiplie les deux membres de cette égalité, à gauche par et à droite par , on obtient l'égalité .

    Elle peut aussi être écrite sous la forme puisque l'on a vu que était inversible, d'inverse ; cela permet de conclure.

  3. Soient et trois matrices de . Si est semblable à , et est semblable à , il existe deux matrices inversibles et de telles que et . Alors on a

    Or on a vu, dans les propriétés des matrices inversibles, que si et sont des matrices inversibles, la matrice l'est aussi et . L'égalité précédente peut donc s'écrire ; cela prouve que les matrices et sont semblables.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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