Propriétés de la relation binaire " A est semblable à B "
Propriété : Propriétés de la relation de similitude sur \mathcal M_n(\mathbf K)
La relation binaire " être semblable à ...", définie sur \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), est appelée relation de similitude. Elle possède les propriétés suivantes :
Si \(\mathcal A\) est une matrice de ,\(\mathcal A\) est semblable à elle même (on dit que la relation est réflexive).
Soient \(\mathcal A\) et\( \mathcal B\) deux matrices de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\). Si \(\mathcal A\) est semblable à \(\mathcal B\), alors \(\mathcal B\) est semblable à \(\mathcal A\) (on dit que la relation est symétrique).
Soient\( \mathcal A, \mathcal B \textrm{ et } \mathcal C\) trois matrices de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) . Si \(\mathcal A\) est semblable à \(\mathcal B\), et \(\mathcal B\) est semblable à\( \mathcal C\), alors \(\mathcal A\) est semblable à \(\mathcal C\) (on dit que la relation est transitive).
Remarque :
Une relation binaire possédant les trois propriétés, réflexive, symétrique et transitive est appelée relation d'équivalence. Donc la relation binaire définie sur \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) " \(\mathcal A\) est semblable à \(\mathcal B\) " est une relation d'équivalence sur \(\mathcal M_n(\mathbf K)\).
Complément : Vocabulaire
Compte tenu de ces propriétés, on peut dire indifféremment que la matrice \(\mathcal A\) est semblable à la matrice \(\mathcal B\) ou que les matrices \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) sont semblables.
Preuve : Preuve des propriétés
Elles sont basées sur les propriétés des matrices inversibles.
Comme la matrice unité\( \mathcal I_n\) est inversible, d'inverse \(\mathcal I_n^{-1}= \mathcal I_n\),
on peut écrire : \(\mathcal I_n \mathcal A \mathcal I_n^{-1}=\mathcal A\), ce qui prouve que \mathcal A est semblable à elle-même (\( \mathcal P= \mathcal I_n\)).
Soient \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbf K)\). Si \(\mathcal A\) est semblable à \(\mathcal B\), il existe une matrice inversible\( \mathcal P\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf K)\) telle que \(\mathcal A=\mathcal P\mathcal B\mathcal P^{-1}\). Si on multiplie les deux membres de cette égalité, à gauche par \(\mathcal P^{-1}\) et à droite par \(\mathcal P\), on obtient l'égalité \(\mathcal P^{-1}\mathcal A\mathcal P=\mathcal B\).
Elle peut aussi être écrite sous la forme \(\mathcal P^{-1}\mathcal A(\mathcal P^{-1})^{-1}=\mathcal B\) puisque l'on a vu que \(\mathcal P^{-1}\) était inversible, d'inverse \(\mathcal P\) ; cela permet de conclure.
Soient \(\mathcal A, \mathcal B\) et\( \mathcal C\) trois matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbf K)\). Si \(\mathcal A\) est semblable à\( \mathcal B\), et \(\mathcal B\) est semblable à \(\mathcal C\), il existe deux matrices inversibles \(\mathcal P\) et\( \mathcal Q\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbf K)\) telles que \(\mathcal A=\mathcal P\mathcal B\mathcal P^{-1}\) et \(\mathcal B=\mathcal Q\mathcal C\mathcal Q^{-1}\). Alors on a
\(\mathcal A=\mathcal P(\mathcal Q\mathcal C\mathcal Q^{-1})\mathcal P^{-1}=(\mathcal P\mathcal Q)\mathcal C(\mathcal Q^{-1}\mathcal P^{-1})\) Or on a vu, dans les propriétés des matrices inversibles, que si \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\) sont des matrices inversibles, la matrice \(\mathcal{PQ}\) l'est aussi et \((\mathcal P\mathcal Q)^{-1}=\mathcal Q^{-1}\mathcal P^{-1}\) . L'égalité précédente peut donc s'écrire \(\mathcal A=(\mathcal P\mathcal Q)\mathcal C(\mathcal P\mathcal Q)^{-1}\) ; cela prouve que les matrices \(\mathcal A\) et \(\mathcal C\) sont semblables.