Application au calcul des puissances d'une matrice

La notion de matrices semblables a aussi une utilisation intéressante pour le calcul des puissances de matrices en partant du constat que plus une matrice est simple (c'est-à-dire avec beaucoup de zéros) plus le calcul est facile.

Pour s'en convaincre on peut considérer l'exemple des matrices diagonales et établir le résultat suivant

Propriété : Puissance d'une matrice diagonale

Soit

une matrice diagonale d'ordre .

Alors, pour tout entier positif , on a

On démontre cette formule en faisant une démonstration par récurrence sur .

Comme annoncé, on va donner une formule liant les puissances de deux matrices semblables.

Théorème : Relation entre les puissances de deux matrices semblables

Soient et deux matrices semblables, c'est-à-dire telles qu'il existe une matrice inversible telle que .

Alors pour tout entier positif , on a , et donc et sont semblables.

On démontre encore cette formule par récurrence sur .

Si , la formule est triviale (c'est la formule traduisant le fait que et sont semblables). Supposons la propriété vraie pour c'est-à-dire . Alors on a , d'où et la propriété est vraie pour .

Exemple

Reprenons le premier exemple où, avec

, ,

et

on a

Alors, l'application du théorème donne :

soit

En appliquant la formule obtenue pour les puissances de matrices diagonales on a :

d'où

Remarque

On a vu dans la ressource consacrée aux matrices carrées que l'on avait un procédé simple pour calculer les puissances d'une matrice de la forme où  est une matrice de , nilpotente.

Par conséquent on aura une méthode systématique pour calculer les puissances d'une matrice semblable à une matrice de la forme est une matrice de , nilpotente. Ce résultat est très utile.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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