Sous-espace de M3(R)

Partie

Question

On considère le sous-ensemble \(F\) de \(M_3(R)\) formé des matrices du type : \(A=\left(\begin{array}{c c c}a-b&0&a+b+c\\0&3a-b+c&0\\a+b+c&0&a-b\end{array}\right)\)\(a, b, c\) sont des réels quelconques.

Démontrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3(R)\), et déterminer sa dimension.

Aide simple

Déterminer les trois matrices \(U, V, W\) de \(M_3(R)\) telles que : \(A\) est élément de \(F\) si et seulement si il existe trois réels \(a, b, c,\) tels que \(A=aU+bV+cW\).

Aide méthodologique

On peut démontrer que \(F\) est stable par combinaisons linéaires, mais ici il est plus intéressant de montrer que \(F\) est le sous espaces engendré par des matrices particulières de \(M_3(R)\), car la démonstration est plus rapide et on obtient ainsi une partie génératrice de \(F\), ce qui est utile pour la deuxième partie de la question.

Solution détaillée

Soit \(A\) une matrice de \(M_3(R)\), \(A\) est élément de \(F\) si et seulement si \(A\) s'écrit : \(A=\left(\begin{array}{c c c}a-b&0&a+b+c\\0&3a-b+c&0\\a+b+c&0&a-b\end{array}\right)\)

C'est-à-dire s'il existe trois réels \(a, b, c\), tels que : \(A=a\left(\begin{array}{c c c}1&0&1\\0&3&0\\1&0&1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c c c}-1&0&1\\0&-1&0\\1&0&-1\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c c c}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right)\)

On pose \(U=\left(\begin{array}{c c c}1&0&1\\0&3&0\\1&0&1\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{c c c}-1&0&1\\0&-1&0\\1&0&-1\end{array}\right),W=\left(\begin{array}{c c c}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{array}\right)\)

On a donc l'équivalence : \(A\in F\Leftrightarrow\exists(a,b,c)\in R^3/A=aU+bV+cW\).

\(F\) est donc l'ensemble des combinaisons linéaires de \(\{U,V,W\}\), c'est le sous-espace vectoriel engendré par \(\{U,V,W\}\).

\(F=\textrm{Vect}\{U,V,W\}\)

\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3(R)\), et \(\{U,V,W\}\) est une partie génératrice de \(F\).

Il reste à étudier si \(\{U,V,W\}\) est une partie libre ou liée.

Considérons une combinaison linéaire nulle de \(U, V, W\).

\(\alpha U+\beta V+\gamma W=O\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}\alpha-\beta=0\\\alpha+\beta+\gamma=0\\3\alpha-\beta+\gamma=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}\alpha-\beta=0\\2\beta+\gamma=0\\2\beta+\gamma=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}\alpha=\beta\\\gamma=-2\beta\end{array}\right.\)

Il y a une infinité de solutions pour \((\alpha,\beta,\gamma)\), par exemple \((1,1,-2)\) ce qui donne la relation de dépendance : \(U+V-2W=O\).

On a \(U=2W-V\), donc la partie \(\{V,W\}\) est encore génératrice de \(F\). De plus les matrices \(V\) et \(W\) ne sont pas colinéaires donc \(\{V,W\}\) est une partie libre, c'est donc une base de \(F\).

\(\textrm{dim}F=2\)