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Condition nécessaire et suffisante d'existence et d'unicité d'une solution d'un système linéaire \mathcal{AX}=\mathcal B, avec \mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K) et \mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K) .
Théorème : Condition nécessaire et suffisante d'existence et d'unicité d'une solution d'un système linéaire , avec et

Soit et .

Le système admet une solution unique pour tout si et seulement si la matrice est inversible.

On va interpréter comme la matrice dans la base canonique d'une application linéaire de dans lui-même. Soit cette application linéaire.

Alors l'égalité matricielle avec et

équivaut à l'égalité vectorielle dans :

, avec et .

La propriété : " le système admet une solution pour tout " est traduite en termes vectoriels par la condition : "l'endomorphisme est surjectif".

L'unicité d'une telle solution est traduite par la propriété : "l'endomorphisme est injectif".

Par conséquent, la propriété :" le système admet une solution unique pour tout " est traduite en termes vectoriels par la condition : "l'endomorphisme est bijectif".

Or on sait qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme soit bijectif est que la matrice qui lui est associée dans une base quelconque soit inversible.

Ici la matrice associée à est la matrice . Donc le système admet une solution unique pour tout si et seulement si la matrice est inversible.

Remarque
  1. La méthode utilisée dans cette démonstration montre toute la force et l'utilité de la liaison matrice - application linéaire.

  2. On peut démontrer l'implication ( inversible) ( admet une solution unique pour tout par des moyens élémentaires ne faisant intervenir que le calcul matriciel.

Démonstration : Autre démonstration de la propriété

On suppose la matrice inversible

- Si est une solution du système, on multiplie à gauche l'égalité par et on utilise les propriétés du produit des matrices. On obtient alors

- Réciproquement, on vérifie simplement en utilisant la définition de l'inverse,

que est solution du système.

Légende :
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