Condition nécessaire et suffisante d'existence et d'unicité d'une solution d'un système linéaire \mathcal{AX}=\mathcal B, avec \mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K) et \mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K) .
Théorème : Condition nécessaire et suffisante d'existence et d'unicité d'une solution d'un système linéaire , avec et
Soit \(\mathcal A\in\mathcal M_n(\mathbf K)\) et \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K)\) .
Le système \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) admet une solution unique pour tout \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K)\) si et seulement si la matrice \(\mathcal A\) est inversible.
On va interpréter \(\mathcal A\) comme la matrice dans la base canonique d'une application linéaire de \(\mathbf K^n\) dans lui-même. Soit \(\phi\) cette application linéaire.
Alors l'égalité matricielle \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) avec \(\mathcal X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\\vdots\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) et \(\mathcal Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\\vdots\\\vdots\\y_n\end{array}\right)\)
équivaut à l'égalité vectorielle dans \(\mathbf K^n\) :
\(y=\phi(x)\) , avec\( x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) et \(y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\).
La propriété : " le système\( \mathcal AX=\mathcal B\) admet une solution pour tout \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}\mathbf(K)\) " est traduite en termes vectoriels par la condition : "l'endomorphisme \(\phi\) est surjectif".
L'unicité d'une telle solution est traduite par la propriété : "l'endomorphisme \(\phi\) est injectif".
Par conséquent, la propriété :" le système \(\mathcal AX=\mathcal B\) admet une solution unique pour tout \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}\mathbf(K)\) " est traduite en termes vectoriels par la condition : "l'endomorphisme \(\phi\) est bijectif".
Or on sait qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme soit bijectif est que la matrice qui lui est associée dans une base quelconque soit inversible.
Ici la matrice associée à \(\phi\) est la matrice \(\mathcal A\). Donc le système \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) admet une solution unique pour tout \(\mathcal B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbf K)\) si et seulement si la matrice \(\mathcal A\) est inversible.
Remarque :
La méthode utilisée dans cette démonstration montre toute la force et l'utilité de la liaison matrice - application linéaire.
On peut démontrer l'implication (\(\mathcal A\) inversible) \(\Rightarrow\) ( \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) admet une solution unique pour tout \(\mathcal B\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbf K)\) par des moyens élémentaires ne faisant intervenir que le calcul matriciel.
Démonstration : Autre démonstration de la propriété
On suppose la matrice \(\mathcal A\) inversible
- Si \(\mathcal X\) est une solution du système, on multiplie à gauche l'égalité \(\mathcal{AX}=\mathcal B\) par \(\mathcal A^{-1}\) et on utilise les propriétés du produit des matrices. On obtient alors \(\mathcal X=\mathcal{A}^{-1}\mathcal B\)
- Réciproquement, on vérifie simplement en utilisant la définition de l'inverse,
que \(\mathcal A^{-1}\mathcal B\) est solution du système.