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Synthèse

L'étude des transformations élémentaires a conduit au résultat suivant :

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à et une matrice de , non nulle.

Alors, il existe un entier , supérieur ou égal à , et inférieur ou égal à et à , et deux matrices et tels que :

  • les matrices et appartiennent respectivement à et et sont des produits de matrices élémentaires,

  • on a l'égalité : .

De plus, comme les matrices élémentaires sont inversibles, les matrices et le sont aussi.

En utilisant le langage vu dans le paragraphe précédent, cela signifie que la matrice est équivalente à la matrice . Cela donne alors, d'après le résultat du paragraphe précédent, des résultats intéressants sur .

  • Interprétation de : C'est le rang de la matrice

  • Unicité de : L'algorithme qui permet de trouver satisfaisant aux conditions indiquées donne une construction effective de ,et mais ne permet pas de savoir si l'entier trouvé est unique ou pas. L'interprétation précédente donne une réponse à cette question. L'entier est unique c'est le rang de la matrice . Cela permet de donner l'énoncé plus complet suivant :

Proposition

Soit et des entiers supérieurs ou égaux à et une matrice de , non nulle.

Alors, il existe un unique entier , supérieur ou égal à , et inférieur ou égal à et à , et deux matrices et , tels que :

  • est le rang de , les matrices et , appartiennent respectivement à et et sont des produits de matrices élémentaires,

  • on a l'égalité : .

Dans la troisième partie, on avait déjà trouvé un résultat analogue, avec la différence suivante :

la méthode est plus théorique et ne donne pas un calcul effectif de et alors qu'ici, on sait que ce sont des produits de matrices élémentaires qui peuvent être déterminées par un algorithme.

Cela amène à une autre méthode pratique pour déterminer le rang d'une matrice.

Résumé : Action du produit par des matrices élémentaires sur une matrice

La matrice qui a les mêmes colonnes que sauf éventuellement la -ième qui est égale à est la matrice .

Soient un entier compris entre et et un élément non nul de .

On considère la matrice carrée d'ordre

La matrice qui a les mêmes colonnes que sauf éventuellement la -ième qui est égale à est est la matrice .

On rappelle que les matrices élémentaires sont définies de la façon suivante :

Soit un entier supérieur ou égal à . Soient deux entiers distincts et , compris entre et , et un élément de .

  • On définit la matrice par

Les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à se trouve à la -ième ligne et -ième colonne et tous les autres éléments sont nuls.

  • Soit un élément non nul de .

    On définit la matrice diagonale par :

se trouve à la -ième ligne et -ième colonne, tous les autres éléments de la diagonale principale sont égaux à .

Soient i et j deux entiers distincts compris entre et . On considère la matrice d'ordre .

On considère la matrice d'ordre .

Alors la matrice obtenue à partir de en échangeant les colonnes et de est égale à .

On rappelle que les matrices sont définies de la façon suivante :

Soit k un entier supérieur ou égal à . Soient et deux entiers distincts compris entre et .

La matrice carrée d'ordre , est la matrice dont

  • Les éléments de la diagonale principale sont tous égaux à sauf le -ième et le -ième, qui sont nuls

  • L'élément de la i-ième ligne, j-ième colonne est égal à , ainsi que celui de -ième ligne, -ième colonne.

  • Tous les autres éléments sont nuls.

Donc

C'est une matrice symétrique et elle vérifie, pour tout et entiers compris entre et , l'égalité : .

De plus on a démontré la formule .

Les matrices élémentaires intervenant dans cette formule ont le même ordre que .

Transformations sur les lignes

Soient et deux entiers distincts compris entre et et un élément quelconque de . On considère la matrice carrée d'ordre .

La matrice qui a les mêmes lignes que sauf éventuellement la -ième qui est égale à est la matrice .

Soient un entier compris entre et un élément non nul de . On considère la matrice carrée d'ordre .

La matrice qui a les mêmes lignes que sauf éventuellement la -ième qui est égale à est est la matrice .

Echange de lignes

Soient et deux entiers distincts compris entre et et la matrice

,

où les matrices élémentaires intervenant sont toutes carrées d'ordre .

Alors la matrice obtenue à partir de en échangeant les lignes et de est égale à .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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