Mathématiques
Précédent
Suivant
Exemple

Détermination du rang de la matrice

Ce résultat est suffisant pour déterminer le rang de ; en effet il est égal au rang de . Or les trois colonnes de sont linéairement indépendantes, donc est de rang .

La matrice est donc de rang et est, par conséquent, inversible.

Pour déterminer son inverse on peut procéder de deux manières différentes.

Méthode : Première méthode

On poursuit la détermination de la réduite de à partir du calcul précédent (on sait d'avance que cette réduite est égale à )

L'algorithme est terminé.

Le résultat précédent nous permet d'obtenir très facilement l'inverse de .

En effet il peut être écrit de la façon suivante , soit en notant et , l'égalité .

Compte tenu des calculs sur les inverses, on obtient d'où , ce qui donne une expression de l'inverse de A comme produit de matrices élémentaires. Ici, cela donne .

On obtient facilement le résultat explicite en utilisant les transformations élémentaires suivant le schéma suivant :

Donc .

Méthode : Deuxième méthode

L'inverse de est déterminé en utilisant l'algorithme classique utilisant les transformations élémentaires menées simultanément sur et sur .

Calcul de l'inverse d'une matrice inversible à l'aide de transformations élémentaires

Soit une matrice carrée inversible d'ordre . On peut appliquer la démarche algorithmique qui a été exposée pour trouver et en ne faisant des opérations que sur les lignes ou (exclusif) que sur les colonnes. Dans le premier cas on trouve une matrice telle que,

Dans le second, une matrice telle que

.

Dans un cas comme dans l'autre, cela donne immédiatement l'inverse de . En effet .

Dans la pratique, quand on applique les mêmes opérations sur les lignes (respectivement colonnes) de on trouve la matrice (respectivement ).

Donc, on menant en parallèle les deux calculs, d'un coté l'on trouve et de l'autre .

Cet algorithme va être appliqué à la matrice

.

Le tableau doit être lu de la façon suivante : dans la colonne centrale il y a la transformation à effectuer, dans la colonne de gauche le résultat de son action en partant de et dans la colonne de droite le résultat de son action en partant de . L'algorithme s'arrête lorsque l'on trouve à gauche la matrice . Cela donne

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)