Exemple
Détermination du rang de la matrice \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&3&3\\1&4&3\\1&3&4\end{array}\right)\)
Ce résultat est suffisant pour déterminer le rang de \(\mathcal A\) ; en effet il est égal au rang de \(\mathcal A_2\). Or les trois colonnes de \(\mathcal A_2\) sont linéairement indépendantes, donc \(\mathcal A_2\) est de rang \(3\).
La matrice \(\mathcal A\) est donc de rang \(3\) et est, par conséquent, inversible.
Pour déterminer son inverse on peut procéder de deux manières différentes.
Méthode : Première méthode
On poursuit la détermination de la réduite de \(\mathcal A\) à partir du calcul précédent (on sait d'avance que cette réduite est égale à \(\mathcal I_3\))
L'algorithme est terminé.
Le résultat précédent nous permet d'obtenir très facilement l'inverse de \(\mathcal A\).
En effet il peut être écrit de la façon suivante \([\mathcal T_{3,1}(-1),\mathcal T_{2,1}(-1)]\mathcal A[\mathcal T_{1,2}(-3),\mathcal T_{1,3}(-3)]=\mathcal I_3\), soit en notant \(\mathcal R=\mathcal T_{3,1}(-1)\mathcal T_{2,1}(-1)\) et\( \mathcal S=\mathcal T_{1,2}(-3)\mathcal T_{1,3}(-3)\) , l'égalité \(\mathcal{RAS}=\mathcal I_3\).
Compte tenu des calculs sur les inverses, on obtient \(\mathcal A=\mathcal R^{-1}\mathcal S^{-1}=(\mathcal{SR})^{-1}\) d'où \(\mathcal A^{-1}=\mathcal{SR}\), ce qui donne une expression de l'inverse de A comme produit de matrices élémentaires. Ici, cela donne \(\mathcal A^{-1}=\mathcal T_{1,2}(-3)\mathcal T_{1,3}(-3)\mathcal T_{3,1}(-1)\mathcal T_{2,1}(-1)\).
On obtient facilement le résultat explicite en utilisant les transformations élémentaires suivant le schéma suivant :
Donc \(\mathcal A^{-1}=\left(\begin{array}{cccccc}7&-3&-3\\-1&1&0\\-1&0&1\end{array}\right)\).
Méthode : Deuxième méthode
L'inverse de\( \mathcal A\) est déterminé en utilisant l'algorithme classique utilisant les transformations élémentaires menées simultanément sur \(\mathcal A\) et sur \(\mathcal I_n\).
Calcul de l'inverse d'une matrice inversible à l'aide de transformations élémentaires
Soit \(\mathcal A\) une matrice carrée inversible d'ordre \(n\). On peut appliquer la démarche algorithmique qui a été exposée pour trouver \(\mathcal P\) et \(\mathcal Q\) en ne faisant des opérations que sur les lignes ou (exclusif) que sur les colonnes. Dans le premier cas on trouve une matrice \(\mathcal P'\) telle que,
\(\mathcal P'\mathcal A=\mathcal I_n\)
Dans le second, une matrice \(\mathcal Q'\) telle que
\(\mathcal A\mathcal Q'=\mathcal I_n\).
Dans un cas comme dans l'autre, cela donne immédiatement l'inverse de \(\mathcal A\). En effet \(\mathcal A^{-1}=\mathcal Q'=\mathcal P'\).
Dans la pratique, quand on applique les mêmes opérations sur les lignes (respectivement colonnes) de \(\mathcal I_n\) on trouve la matrice \(\mathcal P'\mathcal I_n=\mathcal P'\) (respectivement \(\mathcal I_n\mathcal Q'=\mathcal Q'\)).
Donc, on menant en parallèle les deux calculs, d'un coté l'on trouve \(\mathcal I_n\) et de l'autre \(\mathcal A{-1}\).
Cet algorithme va être appliqué à la matrice
\(\left(\begin{array}{cccccc}1&3&3\\1&4&3\\1&3&4\end{array}\right)\).
Le tableau doit être lu de la façon suivante : dans la colonne centrale il y a la transformation à effectuer, dans la colonne de gauche le résultat de son action en partant de\( \mathcal A\) et dans la colonne de droite le résultat de son action en partant de \(\mathcal I_3\). L'algorithme s'arrête lorsque l'on trouve à gauche la matrice\( \mathcal I_3\). Cela donne