Déterminants : définition, propriétés, calcul

Les outils pour calculer effectivement un déterminant sont évidemment les trois propriétés du théorème - définition, ainsi que la propriété suivante qui s'en déduit immédiatement

Proposition

On ne change pas la valeur du déterminant d'une matrice en ajoutant à une colonne (respectivement à une ligne) une combinaison linéaire des autres.

En combinant ce résultat avec le principe du développement par rapport à une ligne ou une colonne (n'importe laquelle d'après l'unicité), principe qui a été vu dans la démonstration de l'existence, on arrive à calculer effectivement les déterminants.

Les idées de base sont les suivantes :

• Plus l'ordre de la matrice est petit, plus son déterminant est facile à calculer.

• Plus le nombre de mineurs (donc de déterminants) à calculer est faible, plus le calcul est simple.

Donc

• Pour mettre en application la première idée, on utilise le développement par rapport à une ligne ou une colonne qui permet de se ramener au calcul de déterminants de matrices d'ordre inférieur.

• Pour mettre en application la deuxième, on essaie de choisir une ligne ou une colonne ayant des zéros. Mais s'il n'y en a pas ou peu ?

• On commence par faire apparaître des zéros en utilisant le résultat de la proposition précédente, éventuellement plusieurs fois, avant de " développer ".

  La réitération de cette méthode permet de se ramener au calcul de déterminants d'ordre 2 que l'on sait facilement calculer.

Soit à calculer le déterminant \(\Delta(a,b,c)=\left|\begin{array}{ccc}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}\right|\) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des scalaires donnés.

On ajoute à la première colonne la somme des deux autres (transformation que l'on symbolise de la façon suivante : \(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\)) ; cela ne modifie pas le déterminant et donc :

\(\Delta(a,b,c)=\left|\begin{array}{ccc}a+b+c&b&c\\a+b+c&c&a\\a+b+c&a&b\end{array}\right|\)

En utilisant la linéarité par rapport à la première colonne on obtient \(\Delta(a,b,c)=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1&b&c\\1&c&a\\1&a&b\end{array}\right|\).

Cela permet alors de se ramener rapidement à un déterminant d'ordre 2 en faisant apparaître deux zéros sur la première colonne. Pour cela il suffit de faire successivement les transformations suivantes : rajouter à la deuxième ligne l'opposée de la première (\(L_2\leftarrow L_2-L_1\)) et à la troisième ligne l'opposée de la première (\(L_3\leftarrow L_3-L_1\)).

Cela donne \(\Delta(a,b,c)=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}1&b&c\\0&c-b&a-c\\0&a-b&b-c\end{array}\right|\).

Par conséquent en développant par rapport à la première colonne,

on obtient \(\Delta(a,b,c)=(a+b+c)(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}c-b&a-c\\a-b&b-c\end{array}\right|\).

Le développement d'un déterminant d'ordre 2 permet d'achever le calcul :

\(\begin{array}{ccc}\Delta(a,b,c)&=&(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)]\\&=&(a+b+c)(-a^2-b^2-c^2+bc+ab+ac)\end{array}\)