Déterminant de matrices particulières

Ce paragraphe est consacré au calcul de déterminant de matrices de formes particulières. Ces résultats, fort utilisés dans la pratique, simplifient souvent les calculs.

1. Déterminant d'une matrice triangulaire

Soit une matrice triangulaire supérieure. Donc .

Ses coefficients vérifient donc la propriété :

Démonstration

La démonstration se fait par récurrence sur l'ordre des matrices considérées.

  • Pour ,

  • Supposons que le déterminant d'une matrice triangulaire d'ordre est égal au produit des termes de la diagonale principale.

    Soit la matrice d'ordre , .

    Si on développe le déterminant de cette matrice par rapport à la première colonne (choisie parce qu'elle a au plus un coefficient non nul), on obtient :

    le déterminant restant à calculer est le déterminant d'une matrice triangulaire d'ordre et par conséquent l'hypothèse de récurrence peut être appliquée. D'où .

Il est clair que, soit en refaisant une démonstration analogue, soit en appliquant la propriété concernant la transposée, on trouve le même résultat pour une matrice triangulaire inférieure.

D'où la propriété :

Propriété : Déterminant d'une matrice triangulaire

Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de la diagonale principale.

En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des termes de la diagonale principale.

2. Déterminant d'une matrice "triangulaire par blocs"

On a le résultat suivant :

Proposition

Soit une matrice de de la forme est un élément de , un élément de et la matrice nulle de . Alors

Démonstration : de la formule

La matrice peut s'écrire sous la forme : , avec et . Alors .

Or en développant successivement par rapport aux premières lignes (dont le seul élément non nul est égal à 1 et est placé sur la diagonale principale), on trouve que . De même, en développant successivement par rapport aux p dernières lignes (même propriété que précédemment), on trouve .

En fait il faut, pour être tout à fait correct, faire une récurrence dans chacun de ces deux cas.

Le résultat s'en déduit immédiatement.

On déduit par récurrence du résultat précédent la formule générale du déterminant d'une matrice triangulaire par bloc.

Proposition : Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Soit une matrice de la forme où, pour compris entre 1 et ,

la matrice appartient à avec .

Alors

Ce résultat est très utile pour calculer les déterminants de certains endomorphismes (la notion de déterminant d'endomorphisme va être définie dans le dernier paragraphe de cette ressource).

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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Simuler
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