Déterminant de matrices particulières
Ce paragraphe est consacré au calcul de déterminant de matrices de formes particulières. Ces résultats, fort utilisés dans la pratique, simplifient souvent les calculs.
1. Déterminant d'une matrice triangulaire
Soit \(M\) une matrice triangulaire supérieure. Donc \(M=\left(\begin{array}{cccc}m_{1,1}&\ldots&&m_{1,n}\\0&m_{2,2}&\ldots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\ldots&0&m_{n,n}\end{array}\right)\).
Ses coefficients vérifient donc la propriété : \(\forall(i,j)\in\{1,2,\ldots,n\}^2,i>j\) \(m_{i,j}=0\)
Démonstration :
La démonstration se fait par récurrence sur l'ordre des matrices considérées.
Pour \(n=2\), \(\det\left(\begin{array}{cc}m_{1,1}&m_{1,2}\\0&m_{2,2}\end{array}\right)=m_{1,1}m_{2,2}\)
Supposons que le déterminant d'une matrice triangulaire d'ordre \(n-1\) est égal au produit des termes de la diagonale principale.
Soit la matrice d'ordre \(n\), \(M=\left(\begin{array}{cccc}m_{1,1}&\ldots&&m_{1,n}\\0&m_{2,2}&\ldots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\ldots&0&m_{n,n}\end{array}\right)\).
Si on développe le déterminant de cette matrice par rapport à la première colonne (choisie parce qu'elle a au plus un coefficient non nul), on obtient :
\(\det M=\det\left(\begin{array}{cccc}m_{1,1}&\ldots&&m_{1,n}\\0&m_{2,2}&\ldots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\ldots&0&m_{n,n}\end{array}\right)=(-1)^{1+1}m_{1,1}\det\left(\begin{array}{cccc}m_{2,2}&\ldots&&m_{2,n}\\0&m_{3,3}&\ldots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\ldots&0&m_{n,n}\end{array}\right)\)
le déterminant restant à calculer est le déterminant d'une matrice triangulaire d'ordre \(n-1\) et par conséquent l'hypothèse de récurrence peut être appliquée. D'où \(\det M=m_{1,1}m_{2,2}\ldots m_{n,n}\).
Il est clair que, soit en refaisant une démonstration analogue, soit en appliquant la propriété concernant la transposée, on trouve le même résultat pour une matrice triangulaire inférieure.
D'où la propriété :
Propriété : Déterminant d'une matrice triangulaire
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des termes de la diagonale principale.
En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des termes de la diagonale principale.
2. Déterminant d'une matrice "triangulaire par blocs"
On a le résultat suivant :
Proposition
Soit \(M\) une matrice de \(M_{n+p}(K)\) de la forme \(\left(\begin{array}{cc}A&B\\\bigcirc&C\end{array}\right)\) où \(A\) est un élément de \(M_n(K)\), \(C\) un élément de \(M_p(K)\) et \(\bigcirc\) la matrice nulle de \(M_{p,n}(K)\). Alors \(\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\\bigcirc&C\end{array}\right)=\det(A)\det(C)\)
Démonstration : de la formule
La matrice \(M\) peut s'écrire sous la forme : \(M=M'M''\), avec \(M'=\left(\begin{array}{cc}I_n&0\\\bigcirc&C\end{array}\right)\)et \(M''=\left(\begin{array}{cc}A&B\\\bigcirc&I_p\end{array}\right)\). Alors \(\det(M)=\det(M'M'')=\det(M')\det(M'')\).
Or en développant \(\det(M')\) successivement par rapport aux \(n\) premières lignes (dont le seul élément non nul est égal à 1 et est placé sur la diagonale principale), on trouve que \(\det(M')=\det(C)\). De même, en développant \(\det(M'')\) successivement par rapport aux p dernières lignes (même propriété que précédemment), on trouve \(\det(M'')=\det(A)\).
En fait il faut, pour être tout à fait correct, faire une récurrence dans chacun de ces deux cas.
Le résultat s'en déduit immédiatement.
On déduit par récurrence du résultat précédent la formule générale du déterminant d'une matrice triangulaire par bloc.
Proposition : Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Soit \(M\) une matrice de la forme \(\left(\begin{array}{cccc}M_1&\ast&\ast&\ast\\0&M_2&\ast&\ast\\\vdots&\ddots&\ddots&\ast\\0&\ldots&0&M_r\end{array}\right)\) où, pour \(i\) compris entre 1 et \(r\),
la matrice \(M_i\) appartient à \(M_{k_1}(K)\) avec \(k_1+k_2+\ldots+k_r=n\).
Alors \(\det M=\det(M_1)\det(M_2)\ldots\det(M_r)\)
Ce résultat est très utile pour calculer les déterminants de certains endomorphismes (la notion de déterminant d'endomorphisme va être définie dans le dernier paragraphe de cette ressource).