Déterminant de la transposée d'une matrice
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 et \(M=(m_{i,j})\) un élément de \(M_n(K)\). La matrice transposée de \(M\), notée \(^tM\), est la matrice de terme général \(m'_{i,j}\) avec pour tout \(i\) et \(j\) compris entre 1 et \(n\), \(m'_{i,j}=m_{j,i}\). Autrement dit les colonnes de \(^tM\)sont les lignes de \(M\).
On a alors la propriété suivante :
Propriété : Proposition
Une matrice et sa transposée ont le même déterminant, c'est-à-dire \(\forall M\in M_n(K), \det M=\det^tM\)
Preuve :
La preuve est basée sur les remarques suivantes concernant les permutations de l'ensemble \(\{1,2,\ldots,n\}\). Si \(\sigma\) est une permutation de l'ensemble \(\{1,2,\ldots,n\}\), on a :
\(k=\sigma(i)\Leftrightarrow i=\sigma^{-1}(K)\). D'où \(m_{\sigma(i),i}=m_{k,\sigma^{-1}(k)}\)
\(\{1,2,\ldots,n\}=\{\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n)\}=\{\sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\ldots,\sigma^{-1}(n)\}\)
\(\sigma\) et \(\sigma^{-1}\) ont la même signature c'est-à-dire : \(\epsilon(\sigma)=\epsilon(\sigma^{-1})\)
Si \(\sigma\) parcourt \(S_n\), groupe des permutations de l'ensemble \(\{1,2,\ldots,n\}, \sigma^{-1}\) aussi.
Alors, en partant de la formule explicite du déterminant
\(\det\left(\begin{array}{ccc}m_{1,1}&\ldots&m_{1,n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\m_{n,1}&\ldots&m_{n,n}\end{array}\right)=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)m_{\sigma(1),1}m_{\sigma(2),2}\ldots m_{\sigma(n),n}\)
et en utilisant les propriétés 1. et 2. ci-dessus, on obtient
\(\displaystyle{\prod^{i=n}_{i=1}m_{\sigma(i),i}=\prod^{k=n}_{k=1}m_{k,\sigma^{-1}(1)}\ldots m_{n,\sigma^{-1}(n)}}\) et
\(\begin{array}{ccc}\det M&=&\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)m_{1,\sigma^{-1}(1)}m_{2,\sigma^{-1}(2)}\ldots m_{n,\sigma^{-1}(n)}\\&=&\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)m'_{\sigma^{-1}(1),1}m'_{\sigma^{-1}(2),2}\ldots m'_{\sigma^{-1}(n),n}\\&=&\displaystyle{\sum_{\sigma^{-1}\in S_n}}\epsilon(\sigma^{-1})m'_{\sigma^{-1}(1),1}m'_{\sigma^{-1}(2),2}\ldots m'_{\sigma^{-1}(n),n}\\&=&\displaystyle{\sum_{\tau\in S_n}}\epsilon(\tau)m'_{\tau(1),1}m'_{\tau(2),2}\ldots m'_{\tau(n),n}\\&=&\det^tM\end{array}\)
Conséquence immédiate
Comme les lignes de \(M\) sont les colonnes de \(^tM\), tous les résultats sur les déterminants vus précédemment sont vrais si les mots colonnes (respectivement lignes) sont remplacés par les mots lignes (respectivement colonnes).
Donc, on a les propriétés :
Propriété : Proposition
Le déterminant d'une matrice qui a deux lignes égales est nul.
On peut développer par rapport à une colonne comme on a développé par rapport à une ligne. La formule obtenue en développant par rapport à la j-ième colonne est :
\(\det M=(-1)^{1+j}m_{1,j}\det M_{1,j}+(-1)^{2+j}m_{2,j}\det M_{2,j}+\ldots+(-1)^{n+j}m_{n,j}\det M_{n,j}\)