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Test A
Le test comporte 3 questions :
Déterminants numériques d'ordre 3 et 5
Déterminant d'ordre 3 avec paramètre
Déterminant d'ordre n
La durée indicative du test est de 50 minutes.
Commencer
Déterminants numériques d'ordre 3 et 5

Calculer les déterminants numériques suivants :

Déterminant d'ordre 3 avec paramètre

Soit un nombre réel, calculer le déterminant défini par :

Pour quelles valeurs de , est-il nul ?

Déterminant d'ordre n

Soient des nombres réels et la matrice définie par :

Montrer que pour tout entier , , le déterminant de est nul.

Calculer ce déterminant pour .

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Déterminants numériques d'ordre 3 et 5
  • Calcul de (2 points)

On peut développer suivant la première colonne :

On peut également utiliser la règle de Sarrus :

On réécrit les deux premières colonnes à droite de la troisième colonne.

est égal à la somme des produits des éléments reliés par une flèche, affectés du signe + si la flèche est parallèle à la diagonale principale, affectés du signe si la flèche est parallèle à l'autre diagonale :

  • Calcul de (4 points)

On retranche successivement la colonne 1 à la colonne 2 et à la colonne 3 . Ces transformations ne modifient pas et permettent d'obtenir d'une part un zéro sur chacune des colonnes 2 et 3, d'autre part une factorisation de .

Un déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes, donc

On ajoute la ligne 3 à la ligne 2 :

Puis on développe suivant la troisième colonne :

  • Calcul de (4 points)

Afin d'avoir quatre zéros sur la première colonne on fait successivement les transformations suivantes : (on retranche à la ligne 2 la ligne 1, on retranche à la ligne 3 deux fois la ligne 1, on ajoute la ligne 1 à la ligne 4)

On développe suivant la première colonne :

Afin d'avoir trois zéros sur la première ligne, on fait successivement les transformations suivantes : (ajout de la colonne 1 à la colonne 2 et à la colonne 3)

On développe suivant la première ligne :

0
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3
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Déterminant d'ordre 3 avec paramètre

On retranche à la colonne 1 la colonne 3 . On fait ainsi apparaître une factorisation par :

Pour faire apparaître un second zéro sur la première colonne, on retranche la première ligne à la troisième

On développe ensuite suivant la première colonne, puis on utilise la linéarité du déterminant d'ordre 2 obtenu par rapport à la colonne 1 :

est nul si et seulement si ou ou .

0
1
2
3
4
5
Déterminant d'ordre n

Soient les matrices colonnes de .

Pour avec et

Les matrices colonnes sont combinaisons linéaires des deux matrices et . Elles appartiennent donc au sous-espace vectoriel engendré par et , de dimension avec .

  • Si , les matrices colonnes sont linéairement dépendantes, le déterminant de est donc nul.

  • Si

    et

D'où .

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/25
Seuil critique :17
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :50 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)