Déterminant d'ordre n

Durée : 15 mn

Note maximale : 10

Question

Soient \(x_1,x_2,\ldots,x_n,i_1,y_2,\ldots,y_n\) des nombres réels \((n\geq 2)\) et \(M_n\) la matrice définie par :

\(M_n=\left(\begin{array}{ccccc}1+x_1y_1&1+x_1y_2&\ldots&\ldots&1+x_1y_n\\1+x_2y_1&1+x_2y_2&\ldots&\ldots&1+x_2y_n\\\vdots&&&&\\\vdots&&&&\\1+x_ny_1&1+x_ny_2&\ldots&\ldots&1+x_ny_n\end{array}\right)\)

Montrer que pour tout entier \(n\),\(n\geq 3\), le déterminant de \(M_n\) est nul.

Calculer ce déterminant pour \(n=2\).

Solution

Soient \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) les matrices colonnes de \(M_n\).

Pour \(1\leq j\leq n\) \(C_j=U+y_iV\) avec \(U=\left(\begin{array}{c}1\\1\\\vdots\\\vdots\\1\end{array}\right)\) et \(V=\) \(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\)

Les matrices colonnes \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) sont combinaisons linéaires des deux matrices \(U\) et \(V\). Elles appartiennent donc au sous-espace vectoriel engendré par \(U\) et \(V\), de dimension \(p\) avec \(1\leq p\leq 2\).

  • Si \(n\geq 3\), les matrices colonnes \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) sont linéairement dépendantes, le déterminant de \(M_n\) est donc nul.

  • Si \(n=2\)

    \(\det M_2=\det(U+y_1V,U+y_2V)=\det(U,U)+y_2\det(U,V)+y_1\det(V,U)+y_1y_2\det(V,V)\)

    \(\det(U,U)=\det(V,V)=0\) et \(\det(U,V)=-\det(V,U)\)

D'où \(\det M_2=(y_2-y_1)\det(U,V)=(y_2-y_1)\left|\begin{array}{cc}1&x_1\\1&x_2\end{array}\right|=(y_2-y_1)(x_2-x_1)\).