Déterminant d'ordre 3 avec paramètre
Durée : 15 mn
Note maximale : 5
Question
Soit \(m\) un nombre réel, calculer le déterminant \(D_m\) défini par :
\(D_m=\left|\begin{array}{ccc}m-2&2&-1\\2&m&2\\2m&2m+2&m+1\end{array}\right|\)
Pour quelles valeurs de \(m\), \(D_m\) est-il nul ?
Solution
On retranche à la colonne 1 la colonne 3 \((C_1\leftarrow C_1-C_3)\). On fait ainsi apparaître une factorisation par \((m-1)\):
\(D_m=\left|\begin{array}{ccc}m-1&2&-1\\0&m&2\\m-1&2m+2&m+1\end{array}\right|=(m-1)\left|\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&m&2\\1&2m+2&m+1\end{array}\right|\)
Pour faire apparaître un second zéro sur la première colonne, on retranche la première ligne à la troisième \((L_3\leftarrow L_3-L_1)\)
\(D_m=(m-1)\left|\begin{array}{ccc}1&2&-1\\0&m&2\\0&2m0&m+1\end{array}\right|\)
On développe ensuite suivant la première colonne, puis on utilise la linéarité du déterminant d'ordre 2 obtenu par rapport à la colonne 1 :
\(D_m=(m-1)\left|\begin{array}{cc}m&2\\2m&m+2\end{array}\right|=(m-1)m\left|\begin{array}{cc}1&2\\2&m+2\end{array}\right|=m(m-1)(m-2)\)
\(D_m\) est nul si et seulement si \(m=0\) ou \(m=1\) ou \(m=2\).