Utilisation des propriétés d'un déterminant (ordre 3)
Partie
Question
On considère les deux matrices \(A\) et \(B\) à coefficients réels :
\(A=\left(\begin{array}{ccc}a&d&g\\b&e&h\\c&f&k\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}2d&g-a&3g\\2e&h-b&3h\\2f&k-c&3k\end{array}\right)\)
On pose \(\det A=\alpha\). En utilisant les propriétés des déterminants, exprimer \(\det B\) en fonction de \(\alpha\).
Aide méthodologique
Pour exprimer \(\det B\) en fonction de \(\det A\), on utilise les trois propriétés suivantes d'un déterminant :
Un déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes.
On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.
Si on échange deux colonnes dans un déterminant, on change le signe de ce déterminant.
Solution détaillée
Un déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes. On a donc, en utilisant la linéarité par rapport aux colonnes 1 et 3,
\(\det B=2\times 3\left|\begin{array}{cccc}d&g-a&g\\e&h-b&h\\f&k-c&k\end{array}\right|\)
De plus un déterminant est inchangé si à une colonne on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes. Soit la transformation \(C_2\leftarrow C_2-C_3\) (on retranche à la colonne \(C_2\) la colonne \(C_3\))
\(\det B=6\left|\begin{array}{cccc}d&-a&g\\e&-b&h\\f&-c&k\end{array}\right|\)
et donc en utilisant la linéarité par rapport à la deuxième colonne,
\(\det B=-6\left|\begin{array}{cccc}d&a&g\\e&b&h\\f&c&k\end{array}\right|\)
Si on échange deux colonnes dans un déterminant, on change le signe de ce déterminant. Soit la transformation \(C_1\leftrightarrow C_2\) (échange des colonnes 1 et 2)
\(\det B=6\left|\begin{array}{cccc}d&a&g\\e&b&h\\f&c&k\end{array}\right|=6\alpha\)