Utilisation des propriétés d'un déterminant (ordre n)
Partie
Question
Soit \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) \(n\) nombres réels et \(M\) la matrice définie par \(M=(\sin(a_i+a_j))_{\begin{array}{c}1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n\end{array}}\).
Calculer le déterminant de M.
Aide simple
Si les colonnes \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) sont linéairement dépendantes alors \(\det(C_1,C_2,\ldots,C_n)=0\).
Aide méthodologique
Utiliser la formule d'addition \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\) pour expliciter la matrice colonne \(C_j\) de \(M\),
et en déduire que les matrices colonnes \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) sont combinaisons linéaires de deux matrices colonnes \(U\) et \(V\).
Etudier alors suivant les valeurs de \(n\) l'indépendance linéaire de \(C_1,C_2,\ldots,C_n\).
Aide à la lecture
M est une matrice carrée d'ordre \(n\) où l'élément de la \(i^{\textrm{ième}}\) ligne et \(j^{\textrm{ième}}\) colonne est égal à \(\sin(a_i+a_j)\). Par exemple si \(n=2\), \(a_1\) et \(a_2\) sont deux nombres réels et \(M=\left(\begin{array}{cc}\sin2a_1&\sin(a-1+a_1)\\\sin(a_2+a_1)&\sin2a_2\end{array}\right)\).
Solution détaillée
Soit \(C_j\) la \(j^{\textrm{ième}}\) matrice colonne de \(M\),
\(C_j=\left(\begin{array}{c}\sin(a_1+a_j)\\\sin(a_2+a_j)\\\\\sin(a_n+a_j)\end{array}\right)\)
Or, \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\). On a donc
\(C_j=\left(\begin{array}{c}\sin a_1\cos a_j+\cos a_1\sin a_j\\\sin a_2\cos a_j+\cos a_2\sin a_j)\\\\\sin a_n\cos a_j+\cos a_n\sin a_j)\end{array}\right)=\cos a_j\left(\begin{array}{c}\sin a_1\\\sin a_2\\\\\sin a_n\end{array}\right)+\sin a_j\left(\begin{array}{c}\cos a_1\\\cos a_2\\\\\cos a_n\end{array}\right)\)
Soit \(U=\left(\begin{array}{c}\sin a_1\\\sin a_2\\\\\sin a_n\end{array}\right)\)et \(V=\left(\begin{array}{c}\cos a_1\\\cos a_2\\\\\cos a_n\end{array}\right)\)
Les matrices colonnes \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) sont donc combinaisons linéaires des deux matrices colonnes \(U\) et \(V\). Elles appartiennent donc au sous-espace vectoriel engendré par \(U\) et \(V\).
Si \(n\geq 3\), \(C_1,C_2,\ldots,C_n\) sont linéairement dépendantes et donc \(\det M = 0\).
Si \(n=2\),
\(\det M=\det(\cos a_1U+\sin a_1V, \cos a_2U+\sin a_2V)\)
En appliquant la propriété de linéarité du déterminant par rapport à chaque colonne on a :
\(\det M=\det(\cos a_1\cos a_2\det(U,U)+\cos a_1\sin a_2\det(U,V)+\sin a_1\cos a_2\det(V,U)+\sin a_1\sin a_2\det(V,V))\)
or \(\det(U,U)=\det(V,V)=0\) et \(\det(V,U)=-\det(U,V)\).
D'où, \(\det M=(\cos a_1\sin a_2-\sin a_1\cos a_2)\det(U,V)=\sin(a_2-a_1)\det(U,V)\)
\(\det(U,V)=\left|\begin{array}{cc}\sin a_1&\cos a_1\\\sin a_2&\cos a_2\end{array}\right|=\sin a_1\cos a_2-\cos a_1\sin a_2=\sin(a_1-a_2)\)
Et donc \(\det M=_(\sin(a_1-a_2))^2\).
On pouvait aussi développer directement le déterminant de \(M\) dans le cas \(n=2\).
Si \(n=2\), \(\det M=\left|\begin{array}{cc}\sin 2a_1&\sin(a_1+a_2)\\\sin(a_2+a_1)&\sin 2a_2\end{array}\right|=\sin 2a_1\sin 2a_2-\sin^2(a_1+a_2)\)
En appliquant les formules d'addition,
\(\det M=4\sin a_1\cos a_1\sin a_2\cos a_2-(\sin a_1\cos a_2+\cos a_1\sin a_2)^2\)
\(\det M=-(\sin^2 a_1\cos^2 a_2+\sin^2 a_2\cos^2 a_1-2\sin a_1\cos a_1\sin a_2\cos a_2)\)
et donc \(\det M=-(\sin(a_1-a_2))^2\).
Si \(n=1\), \(\det M=\sin a_1\)