Utilisation de la formule explicite du déterminant
Partie
Question
Montrer que si dans un déterminant, pour tout \(i\) et \(j\) on remplace le coefficient \(a_{i,j}\) de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) par \((-1)^{i+j}a_{i,j}\), la valeur du déterminant ne change pas.
Aide simple
\(\det A=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\ldots a_{\sigma(n),n}\)
où \(S_n\) est l'ensemble des permutations de \(\{1,2,\ldots,n\}\).
\(\det B=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)(-1)^{\sigma(1)+1}a_{\sigma(1),1}(-1)^{\sigma(2)+2}a_{\sigma(2),2}\ldots (-1)^{\sigma(n)+n}a_{\sigma(n),n}\)
\(\det B=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)(-1)^{\sigma(1)+1+\sigma(2)+2+\ldots+\sigma(n)+n}a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\ldots a_{\sigma(n),n}\)
Comme \(\sigma\) est une permutation de \(\{1,2,\ldots,n\}\), \(\{\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n)\}=\{1,2,\ldots,n\}\).
Aide méthodologique
Utiliser l'expression explicite du déterminant pour comparer les déterminants de \(A\) et \(B\).
Aide à la lecture
Soit \(A=(a_i{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}\) et \(B=(b_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}\). Alors \(b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}\).
Solution détaillée
Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}\) et \(B=(b_{i,j})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}\) avec \(b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}\). On a, d'après la formule explicite du déterminant,
\(\det A=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\ldots a_{\sigma(n),n}\) et \(\det B=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)b_{\sigma(1),1}b_{\sigma(2),2}\ldots b_{\sigma(n),n}\)
donc \(\det B=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)(-1)^{\sigma(1)+1}a_{\sigma(1),1}(-1)^{\sigma(2)+2}a_{\sigma(2),2}\ldots (-1)^{\sigma(n)+n}a_{\sigma(n),n}\)
et enfin \(\det B=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)(-1)^{\sigma(1)+1+\sigma(2)+2+\ldots+\sigma(n)+n}a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\ldots a_{\sigma(n),n}\)
Or, comme \(\sigma\) est une permutation de \(\{1,2,\ldots,n\}\), \(\{\sigma(1),\sigma(2),\ldots,\sigma(n)\}=\{1,2,\ldots,n\}\).
Alors, \(\sigma(1)+1+\sigma(2)+2+\ldots +\sigma(n)+n=2(1+2+\ldots+n)\)
et donc \(\sigma(1)+1+\sigma(2)+2+\ldots +\sigma(n)+n\) est un entier pair
\(\det B=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_n}}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}\ldots a_{\sigma(n),n}=\det A\).