Déterminant d'un produit
Partie
Question
Soit \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) quatre réels et \(A\) la matrice \(\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{array}\right)\).
Calculer le produit matriciel \((^tA)=A\) et en déduire le déterminant de \(A\).
Aide méthodologique
Utiliser les deux propriétés suivantes :
le déterminant du produit de deux matrices est égale au produit des déterminants de ces matrices,
une matrice et sa transposée ont le même déterminant.
Ces deux propriétés permettent de connaître le carré du déterminant de \(A\). Pour obtenir le déterminant de \(A\) écrire la formule explicite du déterminant.
Solution détaillée
\(\left(\begin{array}{cccc}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\b&a&d&-c\\c&-d&a&b\\d&c&-b&a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a^2+b^2+c^2+d^2&b&c&d\\-b&a^2+b^2+c^2+d^2&-d&c\\-c&d&a^2+b^2+c^2+d^2&-b\\-d&-c&b&a^2+b^2+c^2+d^2\end{array}\right)\)
On a donc \((^tA)A=(a^2+b^2+c^2+d^2)I_4\)
Le déterminant d'une matrice diagonale est égale au produit des termes de la diagonale principale. Il en résulte que \(\det(^tA)A=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4\).
Or \(\det(^tA)A=\det ^tA\times\det A\). De plus, \(det^tA=\det A\).
On a donc \((\det A)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^4\)
et \(\det A=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\) ou \(\det A=-(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\)
Pour choisir le résultat correct il suffit de connaître le coefficient de \(a^4\).
D'après la formule explicite du déterminant \(\det A=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_4}}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}a_{\sigma(3),3}a_{\sigma(4),4}\)
Un seul des produits \(a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}a_{\sigma(3),3}a_{\sigma(4),4}\) est égal à \(a^4\), il s'agit du produit \(a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}a_{4,4}\). Son coefficient \(\epsilon(Id)\) est égal à 1.
On en déduit donc \(\det A=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\).