Calcul direct d'un déterminant d'ordre n

Partie

Question

Soit \(x\) un nombre réel. Calculer les déterminants d'ordres respectifs \(4\) et \(n (n\geq 2)\) :

\(D_4(x)=\left|\begin{array}{cccc}x&1&1&1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1&1&x\end{array}\right|\)

\(D_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}x&1&\ldots&&&1\\1&\ddots&&&&\\1&&&&&\\\vdots&&&&&\\&&&&\ddots&1\\1&1&\ldots&\ldots&\ldots&x\end{array}\right|\)

Aide simple

On peut remarquer que la somme des coefficients de chaque ligne de \(D_4(x)\) est égale à \(X+3\).

Or un déterminant est inchangé si, à une colonne, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes. La transformation \(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4\) (on ajoute à la colonne 1 la somme des autres colonnes) ne change donc pas \(D_4(x)\) et permet de mettre \(x+3\) en facteur.

Des transformations sur les lignes permettent ensuite d'obtenir un déterminant triangulaire facile à calculer.

Pour le calcul de \(D_n(x)\) on procède de la même façon.

Il y a bien sûr d'autres possibilités pour obtenir \(D_4(x)\) et \(D_n(x)\) sous forme factorisée.

Aide méthodologique

On peut calculer \(D_4(x)\) en le développant suivant la première ligne ou première colonne, mais il est ici plus intéressant d'utiliser les propriétés suivantes d'un déterminant pour obtenir \(D_4(x)\) sous forme factorisée :

  • Un déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes.

  • On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.

Pour le calcul de \(D_n(x)\) on procède de la même façon.

Aide à la lecture

\(D_n(x)\) est un déterminant d'ordre \(n\). Les coefficients placés sur la diagonale principale sont égaux à \(x\) et les autres coefficients sont égaux à 1.

Solution détaillée
  • Calcul de \(D_4(x)\)

\(D_4(x)=\left|\begin{array}{cccc}x&1&1&1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1&1&x\end{array}\right|\)

On peut remarquer que la somme des coefficients de chaque ligne de \(D_4(x)\) est égale à \(x+3\).

Or un déterminant est inchangé si, à une colonne, on ajoute une combinaison linéaire des autres colonnes. La transformation \(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4\) (on ajoute à la colonne 1 la somme des autres colonnes) ne change donc pas \(D_4(x)\) et permet de mettre \(x+3\) en facteur,

\(D_4(x)=\left|\begin{array}{cccc}x+3&1&1&1\\x+3&x&1&1\\x+3&1&x&1\\x+3&1&1&x\end{array}\right|\)

et, d'après la propriété de linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses colonnes

\(D_4(x)=(x+3)\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&x&1&1\\1&1&x&1\\1&1&1&x\end{array}\right|=(x+3)\Delta_4(x)\)

On peut remarquer que tous les coefficients placés sous la diagonale de \(\Delta_4(x)\) sont égaux à 1. Si on retranche successivement la ligne 1 à chacune des autres lignes de \(\Delta_4(x)\) on ne modifie pas \(\Delta_4(x)\) et on obtient un déterminant triangulaire facile à calculer.

Soit donc les transformations : \(L_2\leftarrow L_2-L_1 ,L_3\leftarrow L_3-L_1 ,L_4\leftarrow L_4-L_1\)

\(D_4(x)=(x+3)\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&x-1&0&0\\0&0&x-1&0\\0&0&0&x-1\end{array}\right|\)

Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments placés sur la diagonale principale.

D'où \(D_4(x)=(x+3)(x-1)^3\)

  • Calcul de \(D_n(x)\)

On procède de la même façon que pour \(D_4(x)\).

La somme des coefficients de chaque ligne de \(D_n(x)\) est égale à \(x+n-1\).

La transformation \(C_1\leftarrow C_1+C_2+\ldots+C_n\) ne change pas \(D_n(x)\) et permet de mettre \(x+n-1\) en facteur

\(D_n(x)=\left|\begin{array}{cccccc}x+n-1&1&\ldots&&&1\\x+n-1&x&\ddots&&&\vdots\\x+n-1&1&\ddots&&&\\\vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&\ddots&1\\x+n-1&1&\ldots&\ldots&1&x\end{array}\right|\)

D'après la propriété de linéarité d'un déterminant par rapport à chacune de ses colonnes

\(D_n(x)=(x+n-1)\left|\begin{array}{cccccc}1&1&\ldots&&&1\\1&x&\ddots&&&\vdots\\1&1&\ddots&&&\\\vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&\ddots&1\\1&1&\ldots&\ldots&1&x\end{array}\right|=(x+n-1)\Delta_n(x)\)

Tous les coefficients placés sous la diagonale de \(\Delta_n(x)\) sont égaux à 1. Si on retranche la ligne 1 à chacune des autres lignes de \(\Delta_n(x)\) on ne modifie pas \(\Delta_n(x)\) et on obtient un déterminant triangulaire facile à calculer.

Soit donc les transformations : \(L_2\leftarrow L_2-L_1 , L_3\leftarrow L_3-L_1 , \ldots ,L_n\leftarrow L_n-L_1\)

\(D_n(x)=(x+n-1)\left|\begin{array}{cccccc}1&1&\ldots&&&1\\0&x-1&0&&&0\\0&0&x-1&&&\vdots\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&\ddots&0\\0&0&\ldots&\ldots&0&x-1\end{array}\right|=(x +n-1)(x-1)^{n-1}\)

On peut remarquer que si \(n-4\) la formule obtenue nous donne bien l'expression précédemment calculée de \(D_4(x)\).