Déterminants : définition, propriétés, calcul

Si \(x=2\) ou \(x=-2\) la deuxième colonne est égale à la première colonne. On a donc \(D(2)=D(-2)=0\). De même si \(x=3\) ou \(x=-3\), la colonne 3 est égale à la colonne 4.

Les réels \(2,-2,3,-3\) sont donc solutions de l'équation D(x)=0.

D'après la formule explicite du déterminant, \(D(x)=\displaystyle{\sum_{\sigma\in S_4}}\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}a_{\sigma(3),3}a_{\sigma(4),4}\)où \(s_4\) est l'ensemble des permutations de l'ensemble \(\{1,2,3,4\}\), la fonction \(x\mapsto D(x)\) est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 4.

Il existe donc un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x\), \(D(x)=k(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\).

Pour connaître \(k\), il suffit de déterminer le coefficient de \(x^4\). Il apparaît dans les produits \(\epsilon(\sigma)a_{\sigma(1),1}a_{\sigma(2),2}a_{\sigma(3),3}a_{\sigma(4),4}\) où \(a_{\sigma(2),2}=x^2-3\)et \(a_{\sigma(3),3}=x^2-5\).

Ce sont les produits correspondant aux permutations \(\sigma\) telles que \(\sigma(2)=1\) et \(\sigma(3)=4\), c'est-à-dire correspondant aux deux permutations \(\sigma\) et \(\sigma'\) définies par :

\(\sigma : \left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{array}\right)\),\(\sigma' : \left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\3&1&4&2\end{array}\right)\)

\(\epsilon(\sigma)=1\) et \(\epsilon(\sigma')=-1\) (\(\sigma\) est la composée de deux transpositions et \(\sigma'\)est la composée de \(\sigma\) avec la transposition qui échange 2 et 3)

\(x^4\) figure donc dans les produits \(2(x^2-3)(x^2-5)3\) et \(-3(x^2-3)(x^2-5)(-2)\).

Le coefficient de \(x^4\) est donc égal à 12 et \(D(x)=12(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\).