Calcul d'un déterminant d'ordre n par récurrence
Partie
Question
Soit \(x\) un nombre réel et \(n\) un entier supérieur ou égal à 1. On considère le déterminant d'ordre \(n\) suivant
\(D_n=\left|\begin{array}{ccccccc}1+x^2&-x&0&\ldots&\ldots&\ldots&0\\-x&\ddots&-x&&&&\\0&\ddots&\ddots&\ddots&&&\\\vdots&\ddots&&&&&\\&&\ddots&&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&\ddots&\ddots&-x\\0&&&&0&-x&1+x^2\end{array}\right|\)
Trouver une relation de récurrence entre \(D_n\), \(D_{n-1}\) et \(D_{n-2}\), n étant un entier supérieur ou égal à 3.
Poser, pour \(n\geq 2\), \(\Delta_n=D_n-D_{n-1}\). Calculer \(\Delta_n\).
En déduire \(D_n\).
Aide simple
2. Montrer que \(\Delta_n\) est une suite géométrique.
3. Considérer \(S_n=\Delta_n+\delta_{n-1}+\ldots+\Delta_3+\Delta_2\) et montrer que \(D_n\) peut s'exprimer à l'aide de \(S_n\) et \(D_1\).
Aide méthodologique
1. \(D_{n-1}\) est un déterminant d'ordre \(n-1\) et \(D_{n-2}\) est d'ordre \(n-2\). Dans une première étape on développe \(D_n\) suivant la première colonne. Le déterminant \(D_n\) s'exprime alors à l'aide de deux déterminants d'ordre \(n-1\). Reconnaître alors \(D_{n-1}\) dans l'un de ces deux déterminants et obtenir \(D_{n-2}\) en développant l'autre suivant une ligne ou une colonne.
Aide à la lecture
\(D_n\) est un déterminant d'ordre \(n\). Les coefficients placés sur la diagonale principale sont égaux à \(1+x^2\), les coefficients placés "au-dessus ou au-dessous" de cette diagonale sont égaux à ^\(-x\)et les autres coefficients sont nuls.
Solution détaillée
Soit n un entier supérieur ou égal à 3.
On développe \(D_n\) suivant la première colonne. Pour cela on peut préciser un peu plus l'écriture de \(D_n\).
\(D_n=\left|\begin{array}{ccccccc}1+x^2&-x&0&\ldots&\ldots&\ldots&0\\-x&1+x^2&-x&0&&&\\0&-x&1+x^2&-x&&&\\\vdots&0&-x&&&&\\&&\ddots&&\ddots&\ddots&\\&&&\ddots&\ddots&\ddots&-x\\0&&&&0&-x&1+x^2\end{array}\right|\)
En développant suivant la première colonne, on obtient
\(D_n=(1+x^2)\left|\begin{array}{cccccc}1+x^2&-x&0&\ldots&\ldots&0\\-x&\ddots&\ddots&\ddots&&\vdots\\0&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\\vdots&&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots\\\vdots&&&\ddots&\ddots&-x\\0&\ldots&&0&-x&1+x^2\end{array}\right|-(-x)\left|\begin{array}{cccccc}-x&0&\ldots&&&0\\-x&1+x^2&-x&&&0\\0&-x&\ddots&\ddots&&\\\vdots&\ddots&&&\ddots&\\&&&&\ddots&-x\\0&&&0&-x&1+x^2\end{array}\right|\)
Le premier déterminant est \(D_{n-1}\). On développe le second déterminant, qui est d'ordre \(n-1\), suivant la première ligne.
\(D_n=(1+x^2)D_{n-1}-(-x)(-x)\left|\begin{array}{ccccc}1+x^2&-x&0&&0\\-x&\ddots&&&\vdots\\0&\ddots&&&0\\\vdots&&&&-x\\0&\ldots&0&-x&1+x^2\end{array}\right|\)
\(D_n=(1+x^2)D_{n-1}-x^2\left|\begin{array}{ccccc}1+x^2&-x&0&&0\\-x&\ddots&&&\vdots\\0&\ddots&&&0\\\vdots&&&&-x\\0&\ldots&0&-x&1+x^2\end{array}\right|\)
D'où \(D_n=(1+x^2)D_{n-1}-x^2D_{n-2}\)
Soit \(\Delta_n=D_n-D_{n-1}\).
Pour \(n\geq 3\), \(D_n=(1+x^2)D_{n-1}-x^2D_{n-2}\) donc \(D_n=D{n-1}+x^2(D_{n-1}-D_{n-2})\) et donc \(D_n-D_{n-1}=x^2(D_{n-1}-D_{n-2})\). On obtient alors \(\Delta_n=x^2_{\Delta_{n-1}}\). La suite \((\Delta_n)_{n\geq 2}\) est donc une suite géométrique de raison \(x^2\) et de premier terme \(\Delta_2\).
D'où, pour tout \(n\geq 2\), \(\Delta_n=(x^2)^{n-2}\Delta_2\).
\(\Delta_2=D_2-D_1\), \(D_1=1+x^2\),\(D_2=\left|\begin{array}{cc}1+x^2&-x\\-x&1+x^2\end{array}\right|=(1+x^2)^2-x^2=1+x^2+x^4\)
et on obtient \(\Delta_2=x^4\). D'où \(\Delta_n=(x^2){n-2}\times x^4=x^2n\).
Soit \(S_n=\Delta_n+\Delta_{n-1}+\ldots+\Delta_3+\Delta_2\)
\(S_n=(D_n-D_{n-1})+(D_{n-1}-D_{n-2})+\ldots+(D_3-D_2)+(D_2-D_1)=D_n-D_1\)
et donc \(D_n=S_n+D_1\)
\(S_n\) est la somme des \(n-1\) premiers termes de la suite géométrique \((\Delta_n)_{n\geq 2}\).
\(S_n=\Delta_2(1+x^2+x^4+\ldots+(x^2){n-2})\)
Si \(x^2\neq 1\) alors \(S_n=\Delta_2\left(\frac{1-x^{2n-2}}{1-x^2}\right)=\Delta_2\left(\frac{1-x^{2n-2}}{1-x^2}\right)=x^4\left(\frac{1-x^{2n-2}}{1-x^2}\right)\)
Comme \(D_n=S_n+D_1\), \(D_n=x^4\left(\frac{1-x^{2n-2}}{1-x^2}\right)+1+x^2=\frac{x^4-x^{2n+2}+1-x^4}{1-x^2}=\frac{1-x^{2n+2}}{1-x^2}\)
Si \(x^2=1\) alors \(S_n=\Delta_2(n-1)=n-1\) et \(D_n=n-1+2=n+1\)
Conclusion :
Si \(x^2\neq 1\) \(D_n=\frac{1-x^{2n+2}}{1-x^2}\)
Si \(x^2=1\) \(D_n=n+1\)