Mathématiques
Précédent
Suivant
Formules de Cramer

Elles donnent une expression des solutions d'un système de Cramer.

Théorème : Formules de Cramer

Soit un système de Cramer .

Pour chaque compris entre 1 et , soit la matrice obtenue en remplaçant la -ième colonne de par la colonne des seconds membres, et en laissant les autres inchangées.

Alors la solution du système est le -uplet avec pour tout compris entre 1 et ,

Preuve

Le système considéré est de Cramer, il admet donc une solution unique . Les scalaires vérifient la relation (*) .

Alors comme il vient en utilisant la relation (*)

Or un déterminant est une forme -linéaire alternée, donc l'égalité précédente devient :

Comme le déterminant de est non nul, cela donne bien le résultat annoncé.

Exemple

Etude du système

La matrice du système est . Son déterminant est égal à 18. Il est non nul, le système est donc un système de Cramer. Il admet donc une unique solution avec :

, soit

, soit

, soit

Donc l'unique solution du système est .

Remarque

Les formules de Cramer se démontrent et s'énoncent très simplement, mais peuvent conduire à des calculs fastidieux (beaucoup de déterminants à calculer). Dans la pratique, la méthode du Pivot de Gauss est souvent plus rapide.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)